Lusternik-Schnirelmann-Theorem

Das Lusternik-Schnirelmann-Theorem ist im mathematischen Teilgebiet der Fixpunkttheorie, hier insbesondere verbunden mit Algebraischer Topologie und Kombinatorik, ein Resultat über bestimmte Überdeckungen von Sphären durch abgeschlossene Mengen. Zuerst veröffentlicht und benannt wurde das Lusternik-Schnirelmann-Theorem nach den sowjetischen Mathematikern Lasar Aronowitsch Lusternik und Lew Genrichowitsch Schnirelmann im Jahr 1930. Es ist äquivalent zum Satz von Borsuk-Ulam aus der Algebraischen Topologie und dem Lemma von Tucker aus der Kombinatorik. Aus dem Lusternik-Schnirelmann-Theorem lässt sich das Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz-Lemma herleiten.^[1][2][3]

Das Lusternik-Schnirelmann-Theorem besagt, dass in einer Überdeckung der Sphäre ${\displaystyle S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ durch ${\displaystyle n+1}$ abgeschlossene Teilmengen mindestens eine dieser Mengen ein Paar antipodaler Punkte enthält, also für einen Punkt ${\displaystyle x\in S^{n}}$ ebenfalls den Punkt ${\displaystyle -x\in S^{n}}$.

• Lusternik-Schnirelmann-Kategorie, topologische Invariante definiert durch Überdeckungen nullhomotoper Mengen

1. ↑ Lasar Aronowitsch Lusternik und Lew Genrichowitsch Schnirelmann: Méthodes topologiques dans les problèmes variationnels. Moskau 1930, S. 26–31. 
2. ↑ Béla Bollobás: The art of mathematics: Coffee time in Memphis,. Cambridge University Press, New York, ISBN 978-0-521-69395-0, S. 118–119, doi:10.1017/CBO9780511816574 (google.de). 
3. ↑ John Oprea, communicated by Vasil V. Tsanov: Applications of Lusternik–Schnirelmann theorem Category and its Generalizations. In: Journal of Geometry and Symmetry in Physics. ISSN 1312-5192.