L-Unverfälschtheit

Die L-Unverfälschtheit ist in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, eine Eigenschaft eines Punktschätzers. Sie verallgemeinert die Erwartungstreue und enthält als weiteren Spezialfall die Median-Unverfälschtheit. Die Verallgemeinerung findet über die Verwendung einer allgemeinen Verlustfunktion statt.

Gegeben seien ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ sowie eine Verlustfunktion ${\displaystyle L(\cdot ;\cdot )}$. Es sei

${\displaystyle R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)=\int _{X}L(g(\vartheta );S)\mathrm {d} P_{\vartheta _{0}}}$

das Risiko des Punktschätzers ${\displaystyle S}$ an der Stelle ${\displaystyle \vartheta }$, gemessen bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$

Dann heißt ein Schätzer ${\displaystyle S}$ L-unverfälscht, wenn für alle ${\displaystyle \vartheta _{0}\in \Theta }$ gilt:

${\displaystyle R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta _{0},S)\leq R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)}$   für alle   ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$.

L-unverfälschte Schätzer liegen also bezüglich der Verlustfunktion L, gemessen mit ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$, näher an dem Wert ${\displaystyle g(\vartheta _{0})}$ als an jedem weiteren Wert ${\displaystyle g(\vartheta )}$.

Wählt man als Verlustfunktion den Gauß-Verlust

${\displaystyle L(\vartheta ;a)=(g(\vartheta )-a)^{2}}$,

so ist ${\displaystyle S\in L^{2}((P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ (siehe L^p-Raum) genau dann L-unverfälscht, wenn ${\displaystyle S}$ ein erwartungstreuer Schätzer für ${\displaystyle g}$ ist.

Wählt man als Verlustfunktion den Laplace-Verlust

${\displaystyle L(\vartheta ;a)=|g(\vartheta )-a|}$,

so ist ${\displaystyle S}$ genau dann L-unverfälscht, wenn ${\displaystyle S}$ Median-unverfälscht ist, das heißt, es gilt für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$

${\displaystyle P_{\vartheta }(S\geq g(\vartheta ))\geq {\frac {1}{2}}}$   und   ${\displaystyle P_{\vartheta }(S\leq g(\vartheta ))\geq {\frac {1}{2}}}$.

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.