L-Funktion einer elliptischen Kurve

In der Mathematik ist die L-Funktion einer elliptischen Kurve oder Hasse-Weil-Zeta-Funktion ein wichtiges Werkzeug der Zahlentheorie.

Sei ${\displaystyle E}$ eine elliptische Kurve über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Für eine Primzahl ${\displaystyle p}$ definieren wir den lokalen Faktor ${\displaystyle L_{p}(T)}$ der L-Reihe in ${\displaystyle p}$ wie folgt.

Wenn ${\displaystyle E}$ modulo ${\displaystyle p}$ gute Reduktion hat, sei ${\displaystyle N_{p}}$ die Anzahl der Punkte in ${\displaystyle E(F_{p})}$ und ${\displaystyle a_{p}=p+1-N_{p}}$. Wir definieren dann

${\displaystyle L_{p}(T)=1-a_{p}T+pT^{2}}$.

Weiter definieren wir

${\displaystyle L_{p}(T)=1-T}$, wenn ${\displaystyle E}$ modulo ${\displaystyle p}$ spaltende semistabile Reduktion hat,

${\displaystyle L_{p}(T)=1+T}$, wenn ${\displaystyle E}$ modulo ${\displaystyle p}$ nicht-spaltende semistabile Reduktion hat,

${\displaystyle L_{p}(T)=1}$, wenn ${\displaystyle E}$ modulo ${\displaystyle p}$ instabile Reduktion hat.

Die L-Reihe der elliptischen Kurve wird dann als Produkt über die lokalen Faktoren definiert:

${\displaystyle L(E,s)=\prod _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{L_{p}(p^{-s})}}}$

Aus der von Hasse bewiesenen Ungleichung ${\displaystyle \vert a_{p}\vert \leq 2{\sqrt {p}}}$ folgt Konvergenz und Analytizität von ${\displaystyle L(E,s)}$ für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>{\tfrac {3}{2}}}$.

• ${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}-x^{2}-10x-20}$

Die Gleichung beschreibt ein minimales Modell mit Diskriminante ${\displaystyle -11^{5}}$. Die einzige Primzahl schlechter Reduktion ist ${\displaystyle p=11}$, dort ist die Reduktion spaltend semistabil. Also ist

${\displaystyle L(E,s)={\frac {1}{1-11^{-s}}}\prod _{p\not =11\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}=}$

${\displaystyle =1-{\frac {2}{2^{s}}}-{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {2}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {2}{6^{s}}}-{\frac {2}{7^{s}}}-{\frac {2}{9^{s}}}-{\frac {2}{10^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\dotsb }$.

• ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-11x^{2}+385}$

Die Kurve hat instabile Reduktion in ${\displaystyle 2}$ und ${\displaystyle 11}$, spaltende semistabile Reduktion in ${\displaystyle 5}$ und nicht-spaltende semistabile Reduktion in ${\displaystyle 7}$ und ${\displaystyle 461}$. Damit ist

${\displaystyle L(E,s)=\left((1-5^{-s})(1+7^{-s})(1+461^{-s})\right)^{-1}\prod _{p\not =2,5,7,11,461\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}=}$

${\displaystyle =1-{\frac {2}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {2}{13^{s}}}-{\frac {2}{15^{s}}}-{\frac {5}{17^{s}}}+{\frac {2}{21^{s}}}+\dotsb }$.

Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine Entwicklung als Dirichlet-Reihe:

${\displaystyle L(E,s)=\sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$,

wobei die Fourier-Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}}$ wie folgt berechnet werden:

• ${\displaystyle a_{1}=1}$.
• Für eine Primzahl ${\displaystyle p}$ ist
  • ${\displaystyle a_{p}=p+1-N_{p}}$, wenn ${\displaystyle E}$ gute Reduktion in ${\displaystyle p}$ hat,
  • ${\displaystyle a_{p}=1}$, wenn ${\displaystyle E}$ spaltende semistabile Reduktion in ${\displaystyle p}$ hat,
  • ${\displaystyle a_{p}=-1}$, wenn ${\displaystyle E}$ nicht-spaltende semistabile Reduktion in ${\displaystyle p}$ hat,
  • ${\displaystyle a_{p}=0}$, wenn ${\displaystyle E}$ instabile Reduktion in ${\displaystyle p}$ hat.
• Für eine Primzahlpotenz ${\displaystyle p^{r}}$ ist im Falle guter Reduktion modulo ${\displaystyle p}$ der Fourier-Koeffizient rekursiv definiert durch ${\displaystyle a_{p}\cdot a_{p^{r}}=a_{p^{r+1}}+p\cdot a_{p^{r-1}}}$, während im Falle schlechter Reduktion ${\displaystyle a_{p^{r}}=(a_{p})^{r}}$ gilt.
• Für teilerfremde Zahlen ${\displaystyle m,n}$ gilt ${\displaystyle a_{mn}=a_{m}a_{n}}$.

Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine analytische Fortsetzung auf die gesamte komplexe Zahlenebene und erfüllt mit

${\displaystyle \Lambda (E,s):=N^{s/2}(2\pi )^{-s}\Gamma (s)L(E,s)}$

für den Führer ${\displaystyle N}$ und die Gamma-Funktion ${\displaystyle \Gamma (s)}$ eine Funktionalgleichung

${\displaystyle \Lambda (E,s)=\operatorname {sign} (E,\mathbb {Q} )\Lambda (E,2-s)}$

mit ${\displaystyle \operatorname {sign} (E,\mathbb {Q} )\in \left\{1,-1\right\}}$. Diese von Hasse und Weil aufgestellte Vermutung folgt aus dem Modularitätssatz. Aus der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde ${\displaystyle \operatorname {sign} (E,\mathbb {Q} )=(-1)^{\operatorname {rang} (E/\mathbb {Q} )}}$ folgen.

• A. Lozano-Robledo: Elliptic curves, modular forms, and their L-functions. Student Mathematical Library 58. American Mathematical Society (AMS), Providence, RI 2011, ISBN 978-0-8218-5242-2/pbk.