Krulltopologie

Die Krulltopologie, nach Wolfgang Krull, ist eine Topologie auf der Galoisgruppe einer nicht notwendigerweise endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$, so dass diese zu einer so genannten topologischen Gruppe wird.

Es sei ${\displaystyle L/K}$ eine nicht notwendigerweise endliche galoissche Körpererweiterung. Für eine unendliche Erweiterung bedeute dabei galoissch, dass die Erweiterung separabel ist und zu jeder endlichen Teilerweiterung ${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}$ auch die normale (und mithin galoisssche) Hülle von ${\displaystyle M}$ enthält.

Zur Definition der Krull-Topologie^[1][2] betrachte man zunächst die Mengen

• ${\displaystyle {\mathcal {E}}:=\{M\mid K\subseteq M\subseteq L,[M:K]<\infty \}}$ der über ${\displaystyle K}$ endlichen Teilerweiterungen und
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}:=\{M\mid K\subseteq M\subseteq L,[M:K]<\infty {\text{ und }}M/K{\text{ galoissch}}\}}$ der über ${\displaystyle K}$ endlichen und normalen Teilerweiterungen.

Es ist ${\displaystyle {\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {E}}}$.

1. Man definiert auf der Gruppe ${\displaystyle G(L/K):=\operatorname {Aut_{K}(L)} }$ eine offene Umgebungsbasis des neutralen Elements als das Mengensystem ${\displaystyle \{G(L/M)\mid M\in {\mathcal {E}}\}}$.^[3] (Diese Umgebungsbasis enthält Untergruppen von endlichem Index, die Fixgruppen von Zwischenkörpern sind.) Dadurch wird ${\displaystyle G(L/K)}$ zu einer topologischen Gruppe.
2. Dieselbe Topologie wird durch die offene Umgebungsbasis ${\displaystyle \{G(L/M)\mid M\in {\mathcal {N}}\}}$ erzeugt, die nur die Normalteiler aus obiger Umgebungsbasis enthält.
3. Versieht man die endlichen Galoisgruppen ${\displaystyle G(M/K)\;(M\in {\mathcal {N}})}$ mit der diskreten Topologie und den projektiven Limes ${\displaystyle \projlim _{M\in {\mathcal {N}}}G(M/K)}$ mit der Limestopologie, so erhält man einen kanonischen Isomorphismus topologischer Gruppen:

${\displaystyle G(L/K)\cong \projlim _{M\in {\mathcal {N}}}G(M/K)}$

Mit dieser Darstellung ist ersichtlich, dass ${\displaystyle G(L/K)}$ eine proendliche Gruppe ist.

Die Bedeutung der Krulltopologie liegt darin begründet, dass sie es ermöglicht, den Hauptsatz der Galoistheorie auf unendliche Galoiserweiterungen auszudehnen: Ist ${\displaystyle L/K}$ eine unendliche Galoiserweiterung, so gibt es eine kanonische Bijektion zwischen Teilerweiterungen ${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}$ und abgeschlossenen Untergruppen von ${\displaystyle G(L/K)}$: Einer Erweiterung ${\displaystyle M}$ entspricht die Untergruppe

${\displaystyle G(L/M)\subseteq G(L/K),}$

einer Untergruppe ${\displaystyle U\subseteq G(L/K)}$ die Erweiterung

${\displaystyle L^{U}=\{x\in L\mid \sigma x=x\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ \sigma \in U\}.}$

Eine Teilerweiterung ${\displaystyle M/K}$ ist genau dann normal (und damit galoissch), wenn ${\displaystyle G(L/M)}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle G(L/K)}$ ist; die Galoisgruppe ${\displaystyle G(M/K)}$ ist kanonisch isomorph zum Quotienten ${\displaystyle G(L/K)/G(L/M)}$.

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle K^{\mathrm {sep} }}$ ein separabler Abschluss von ${\displaystyle K}$. Weiter sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum (über irgendeinem Körper). Versieht man ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ mit der diskreten Topologie, so sind Darstellungen von ${\displaystyle G(K^{\mathrm {sep} }/K)}$ auf ${\displaystyle V}$ genau dann stetig, wenn sie über einen endlichen Quotienten ${\displaystyle G(M/K)}$ für eine endliche Erweiterung ${\displaystyle M/K}$ faktorisieren. Die Kategorie der stetigen Darstellungen von ${\displaystyle G(K^{\mathrm {sep} }/K)}$ ist also in diesem Sinne die Vereinigung aller Kategorien von Darstellungen der Gruppen ${\displaystyle G(M/K)}$ für endliche Erweiterungen ${\displaystyle M/K}$.

Es sei ${\displaystyle L/K}$ eine beliebige Körpererweiterung (also nicht notwendig eine algebraische Erweiterung, geschweige denn normal oder separabel). Die Krulltopologie auf der Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)}$ der Körperautomorphismen von ${\displaystyle L}$, die ${\displaystyle K}$ elementweise festlassen, ist diejenige Topologie, für die die Untergruppen

${\displaystyle G(S)=\{\sigma \in \operatorname {Aut} (L/K)\mid \sigma s=s\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ s\in S\}}$

für endliche Teilmengen ${\displaystyle S\subseteq L}$ eine Umgebungsbasis des Einselementes bilden. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)}$ wird mit dieser Topologie zu einer topologischen Gruppe.

1. ↑ Vgl. Serge Lang: Algebra. Second Edition. Addison-Wesley, Redwood City, California, USA 1984, ISBN 0-201-05487-6, Chapter VIII Galois Theory, Exercise 40, S. 351 (714 S.). 
2. ↑ Siehe Siegfried Bosch: Algebra. 10. Auflage. Springer, 2023, ISBN 978-3-662-67463-5, Kapitel 4. Galois-Theorie, 4.2 Proendliche Galois-Gruppen, S. 199 ff., doi:10.1007/978-3-662-67464-2 (508 S.). 
3. ↑ Ina Kersten: Brauergruppen. Universitätsdrucke Göttingen, 2007, ISBN 978-3-938616-89-5, §15.2 (Online [abgerufen am 26. Januar 2017]).