Kretschmann-Skalar

Der Kretschmann-Skalar ${\displaystyle K}$ (auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.^[1]

Der Kretschmann-Skalar ${\displaystyle K}$ ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als

${\displaystyle K=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{\kappa =0}^{3}\sum _{\lambda =0}^{3}\sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle R_{\kappa \lambda \mu \nu }}$ den Riemannschen Krümmungstensor und ${\displaystyle \,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{i=0}^{3}g^{\kappa i}\,\sum _{j=0}^{3}g^{\lambda j}\,\sum _{k=0}^{3}g^{\mu k}\,\sum _{l=0}^{3}g^{\nu l}\,R_{ijkl}\,}$.

Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor ${\displaystyle C_{\kappa \lambda \mu \nu }}$, den Ricci-Tensor ${\displaystyle R_{\kappa \lambda }}$ sowie den Ricci-Skalar ${\displaystyle R}$ wie folgt ausgedrückt werden:^[2]

${\displaystyle K=C_{\kappa \lambda \mu \nu }\,C^{\kappa \lambda \mu \nu }+2R_{\kappa \lambda }\,R^{\kappa \lambda }-{\frac {1}{3}}R^{2}}$

Für die Schwarzschild-Metrik^[3]

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=\textstyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \vartheta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\vartheta \mathrm {d} \varphi ^{2}}$

mit der Zeitkoordinate ${\displaystyle t}$, den Kugelkoordinaten ${\displaystyle (r,\vartheta ,\varphi )}$ und dem Schwarzschild-Radius ${\displaystyle r_{\mathrm {s} }=2GM/c^{2}}$ ist der Kretschmann-Skalar^[4] mit dem Schwarzschild-Radius ${\displaystyle r_{s}}$ gegeben durch:^[5]

${\displaystyle K_{\text{Schwarzschild}}=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\textstyle {\frac {12{r_{s}}^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}}$

Der Kretschmann-Skalar verhält sich am Schwarzschild-Radius ${\displaystyle r_{\mathrm {s} }}$ völlig harmlos. Die Divergenz von ${\displaystyle R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }}$ bei ${\displaystyle r=0}$ zeigt, dass hier eine echte physikalische Singularität lauert: Die Raumzeit ist hier unendlich gekrümmt^[6].

Für die Kerr-Metrik eines rotierenden Schwarzen Lochs der Masse ${\displaystyle M}$ und des Drehimpulses ${\displaystyle J}$ lautet die Metrik mit dem Drehimpulsparameter ${\displaystyle a=\textstyle {\frac {J}{Mc}}}$ in Boyer-Lindquist Koordinaten^[7] mit ${\displaystyle r_{\mathrm {s} }=2GM/c^{2}}$

${\displaystyle {\text{d}}s^{2}=\textstyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }r}{\rho ^{2}}}\right)c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\frac {2r_{\mathrm {s} }ra\sin ^{2}\vartheta }{\rho ^{2}}}c{\text{d}}t{\text{d}}\varphi +{\frac {A}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\vartheta {\text{d}}\varphi ^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}{\text{d}}r^{2}+\rho ^{2}{\text{d}}\vartheta ^{2}}$

mit den Größen ${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{\mathrm {s} }r+a^{2}}$, ${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta }$ und ${\displaystyle A=(r^{2}+a^{2})^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\vartheta }$. Dabei ist ${\displaystyle r=r_{z}}$ der fiktive Radius einer Referenzkugel mit dem kartesischen Polradius ${\displaystyle r_{z}}$. Dann ist der Kretschmann-Skalar^[8][9]

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{Kerr}}&=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\textstyle {\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{6}}}(r^{6}-15a^{2}r^{4}\cos ^{2}\vartheta +15a^{4}r^{2}\cos ^{4}\vartheta -a^{6}\cos ^{6}\vartheta )\\&=\textstyle {\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{6}}}(r^{2}-a^{2}\cos ^{2}\vartheta )(r^{4}-14a^{2}r^{2}\cos ^{2}\vartheta +a^{4}\cos ^{4}\vartheta )\\&=\textstyle {\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{6}}}(r^{2}-a^{2}\cos ^{2}\vartheta )[(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{2}-16a^{2}r^{2}\cos ^{2}\vartheta ]\end{aligned}}}$

Der Kretschmann-Skalar ${\displaystyle K_{\text{Kerr}}}$ geht für die verschwindende Rotation ${\displaystyle a=0}$ über in ${\displaystyle K_{\text{Schwarzschild}}}$!

${\displaystyle K_{\text{Kerr}}}$ hat eine echte koordinatenunabhängige Singularität bei^[10]

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta =0}$

Bei dieser Singularität wird ${\displaystyle r=0=\cos \vartheta }$. In den kartesischen Kerr-Schild Koordinaten^[11] ${\displaystyle x+{\text{i}}y=(r-{\text{i}}a){\text{e}}^{{\text{i}}\varphi }\sin \vartheta }$ und ${\displaystyle z=r\cos \vartheta }$ gilt

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+{\text{i}}y)(x-{\text{i}}y)=(r-{\text{i}}a)(r+{\text{i}}a)\sin ^{2}\vartheta =(r^{2}+a^{2})(1-\cos ^{2}\vartheta )\quad \Rightarrow \quad x^{2}+y^{2}=a^{2}\quad {\text{und }}z=0\quad {\text{für }}r=0=\cos \vartheta }$

Diese Gleichung beschreibt einen Ring mit dem Radius ${\displaystyle a}$, der in der ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene liegt. Die analytische Fortsetzung für ${\displaystyle r>0}$ und ${\displaystyle r<0}$ diskutieren Stephen Hawking und George Ellis^[12].

Die Größe ${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{\mathrm {s} }r+a^{2}=0}$ ist eine Koordinatensingularität der Kerr-Metrik, die nicht im Kretschmann-Skalar ${\displaystyle K_{\text{Kerr}}}$ vorkommt^[13].

1. ↑ Richard C. Henry: Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole. In: The Astrophysical Journal. 535. Jahrgang. The American Astronomical Society, 2000, S. 350–353, doi:10.1086/308819, arxiv:astro-ph/9912320v1, bibcode:2000ApJ...535..350H (iop.org). 
2. ↑ Eintrag zum Kretschmann-Skalar im Lexikon der Astronomie des Spektrum Verlags
3. ↑ Frolov, Valeri and Zelnikov, Andrei: Introduction to Black Hole Physics. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2011, ISBN 978-0-19-969229-3, S. 168. 
4. ↑ Sebastian Boblest, Thomas Müller, Günter Wunner: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Springer, Berlin 2016, S. 225.
5. ↑ Frolov, Valeri and Zelnikov, Andrei: Introduction to Black Hole Physics. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2011, ISBN 978-0-19-969229-3, S. 169. 
6. ↑ Zee, A.: Einstein Gravity in a Nutshell. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2013, ISBN 978-0-691-14558-7, S. 365. 
7. ↑ Padmanabhan, T.: Gravitation - Foundations and Frontiers. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2010, ISBN 978-0-521-88223-1, S. 366. 
8. ↑ Richard C. Henry: Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole. In: The Astrophysical Journal. 535. Jahrgang. The American Astronomical Society, 2000, S. 350–353, doi:10.1086/308819, arxiv:astro-ph/9912320v1, bibcode:2000ApJ...535..350H (iop.org). 
9. ↑ Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. 2008, arxiv:0706.0622. 
10. ↑ McMahon, David: relativity DeMYSTiFied - a self-teaching guide. 1. Auflage. McGraw Hill, New York 2006, ISBN 0-07-145545-0, S. 252. 
11. ↑ S. W. Hawking, G. F. R. Ellis: The large scale structure of space-time. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1980, ISBN 0-521-09906-4, S. 162. 
12. ↑ S. W. Hawking, G. F. R. Ellis: The large scale structure of space-time. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1980, ISBN 0-521-09906-4, S. 163. 
13. ↑ Straumann, Norbert: General Relativity - With Applications in Astrophysics. 1. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2004, ISBN 3-540-21924-2, S. 564.