Koordinatenfunktion

Als Koordinatenfunktion werden in der linearen Algebra, der Analysis und in der Topologie spezielle Funktionen bezeichnet, welche die ${\displaystyle i}$-te Komponente eines Tupels liefern, beispielsweise die Komponenten eines Spaltenvektors oder des Funktionswertes einer Abbildung.

Seien ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ ein ${\displaystyle n}$-Tupel ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})}$ und ${\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}}$.

Dann ist die ${\displaystyle i}$-te Koordinatenfunktion ${\displaystyle f_{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ definiert als

${\displaystyle f_{i}(a)=a_{i}}$.^[1]

Definitionsmenge und Zielmenge für ${\displaystyle f_{i}}$ können je nach Kontext unterschiedlich definiert sein.

Der Übergang von kartesischen Koordinaten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ zu Polarkoordinaten ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle \varphi }$ wird durch die beiden Koordinatenfunktionen

${\displaystyle x(r,\varphi )=r\,\cos \varphi \,\,}$ und

${\displaystyle y(r,\varphi )=r\,\sin \varphi }$

beschrieben.

Sei ${\displaystyle \varphi \colon U^{\varphi }\to A^{\varphi }}$eine Karte auf einer Mannigfaltigkeit mit der Dimension ${\displaystyle m}$.

Für einen Punkt ${\displaystyle p\in U^{\varphi }}$ ist dann ${\displaystyle \varphi (p)}$ ein ${\displaystyle m}$-dimensionales Koordinatentupel in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$:

${\displaystyle \varphi (p)=(\varphi ^{1}(p),\varphi ^{2}(p),\dotsc ,\varphi ^{m}(p))}$.

Es gibt für ${\displaystyle \varphi }$ also insgesamt ${\displaystyle m}$ Koordinatenfunktionen ${\displaystyle \varphi ^{i},\;i\in \{1,\dotsc ,m\}}$, die jeweils die ${\displaystyle i}$-te Koordinate für ${\displaystyle \varphi (p)}$ liefern.^[2] Die hochgestellten Indizes sollten nicht mit Potenzen oder der Ableitung verwechselt werden.

• K. Endl, W. Luh: Analysis. Band 2. Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2. 

1. ↑ Frank Klinker: Grundlagen der Analysis. (PDF; 4,1 MB) S. 151, abgerufen am 5. Juli 2019. 
2. ↑ Rolf Walter: Einführung in die differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. (PDF; 511 KB) 15. Juli 2009, S. 3, abgerufen am 5. Juli 2019.