Konjugierte Richtungen

Zwei Vektoren ${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} ^{n}}$ heißen genau dann konjugierte Richtungen (auch A-konjugierte Vektoren) bezüglich einer positiv definiten Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, wenn ${\displaystyle \langle Au,v\rangle =0}$, wobei ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ das Standardskalarprodukt auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bezeichnet. Dies ist äquivalent dazu, dass die Vektoren bezüglich des bilinearen Ausdrucks ${\displaystyle (x,y)\mapsto \langle Ax,y\rangle }$ orthogonal sind.^[1]

Konjugierte Richtungen spielen insbesondere in numerischen Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme eine wichtige Rolle. So basiert das Verfahren der konjugierten Gradienten (CG-Verfahren) auf der Idee, in jeder Iteration eine neue Suchrichtung zu wählen, die zu allen vorherigen Suchrichtungen A-konjugiert ist. Dadurch wird sichergestellt, dass das Verfahren im Fall symmetrisch positiv definiter Matrizen nach höchstens ${\displaystyle n}$ Schritten (in exakter Arithmetik) die exakte Lösung findet.

Ist ${\displaystyle A}$ symmetrisch und positiv definit, so definiert ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}:=\langle Ax,y\rangle }$ ein Skalarprodukt auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Zwei Vektoren sind genau dann A-konjugiert, wenn sie bezüglich dieses Skalarprodukts orthogonal sind.

Die A-Konjugiertheit ist im Allgemeinen keine symmetrische Relation, d. h., aus ${\displaystyle \langle Au,v\rangle =0}$ folgt nicht notwendigerweise ${\displaystyle \langle u,Av\rangle =0}$. Falls jedoch ${\displaystyle A}$ symmetrisch ist, gilt:

${\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle u,Av\rangle }$,

und damit ist die Relation symmetrisch.

• Für die Definition der A-Konjugiertheit genügt zunächst die positive Definitheit von ${\displaystyle A}$. Viele Anwendungen (insbesondere das CG-Verfahren) setzen jedoch zusätzlich die Symmetrie von ${\displaystyle A}$ voraus, da nur dann ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{A}}$ ein Skalarprodukt definiert.
• Die A-Konjugiertheit verallgemeinert den Begriff der Orthogonalität: Für ${\displaystyle A=I}$ (Einheitsmatrix) entspricht sie der üblichen Orthogonalität von Vektoren.

1. ↑ konjugierte Richtungen. Abgerufen am 15. Juli 2025.