Knödel-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Knödel-Zahl zu einer gegebenen ganzen Zahl ${\displaystyle n}$ eine zusammengesetzte Zahl ${\displaystyle m}$ mit der Eigenschaft, dass alle zu ${\displaystyle m}$ teilerfremden ${\displaystyle i<m}$ die Kongruenz ${\displaystyle i^{m-n}\equiv 1{\pmod {m}}}$ erfüllen. Diese Eigenschaft ist nach Walter Knödel benannt. Die Menge aller Knödel-Zahlen von ${\displaystyle n}$ wird mit ${\displaystyle K_{n}}$ bezeichnet.

Die Spezialfälle ${\displaystyle K_{1}}$ sind die Carmichael-Zahlen.

Jede zusammengesetzte Zahl ist eine Knödel-Zahl zu ${\displaystyle n:=m-\varphi (m)}$. Mit ${\displaystyle \varphi (m)}$ ist die Eulersche Phi-Funktion gemeint.

Beispiel 1:

Sei ${\displaystyle n:=4}$ und ${\displaystyle m:=12.}$

Dann sind die Zahlen ${\displaystyle i=1,5,7}$ und ${\displaystyle 11}$ zu ${\displaystyle m=12}$ teilerfremd. Es gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}1^{12-4}&=&1&&&\equiv &1{\pmod {12}}\\5^{12-4}&=&390625&=&32552\cdot 12+1&\equiv &1{\pmod {12}}\\7^{12-4}&=&5764801&=&480400\cdot 12+1&\equiv &1{\pmod {12}}\\11^{12-4}&=&214358881&=&17863240\cdot 12+1&\equiv &1{\pmod {12}}\end{aligned}}}$

Somit erfüllen alle zu ${\displaystyle m=12}$ teilerfremden Zahlen ${\displaystyle i}$ die Kongruenz ${\displaystyle i^{m-n}\equiv 1{\pmod {m}}}$.

Also ist ${\displaystyle m=12}$ eine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt ${\displaystyle 12\in K_{4}}$.

Beispiel 2:

Sei ${\displaystyle n:=4}$ und ${\displaystyle m:=14.}$

Dann sind die Zahlen ${\displaystyle i=1,3,5,9,11}$ und ${\displaystyle 13}$ zu ${\displaystyle m=14}$ teilerfremd. Es gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}1^{14-4}&=&1&&&&\equiv &\quad 1&{\pmod {14}}\\3^{14-4}&=&59049&=&4217\cdot 14&+11&\equiv &\quad 11&{\pmod {14}}\\5^{14-4}&=&9765625&=&697544\cdot 14&+9&\equiv &\quad 9&{\pmod {14}}\\9^{14-4}&=&3486784401&=&249056028\cdot 14&+9&\equiv &\quad 9&{\pmod {14}}\\11^{14-4}&=&25937424601&=&1852673185\cdot 14&+11&\equiv &\quad 11&{\pmod {14}}\\13^{14-4}&=&137858491849&=&9847035132\cdot 14&+1&\equiv &\quad 1&{\pmod {14}}\end{aligned}}}$

Somit erfüllen nicht alle zu ${\displaystyle m=14}$ teilerfremden Zahlen ${\displaystyle i}$ die Kongruenz ${\displaystyle i^{m-n}\equiv 1{\pmod {m}}}$.

Eigentlich hätte man die Berechnung schon bei ${\displaystyle i=3}$ abbrechnen können. Also ist ${\displaystyle m=14}$ keine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt ${\displaystyle 14\not \in K_{4}}$.

Beispiel 3:

Es folgt noch eine Liste der ersten Elemente der Mengen ${\displaystyle K_{1}}$ bis ${\displaystyle K_{10}}$:

• A. Makowski: Generalization of Morrow’s D-Numbers. 1963, S. 71 (englisch). 
• Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer-Verlag, New York 1989, ISBN 978-0-387-94457-9, S. 101 (englisch).