Kettenwurzel

Eine Kettenwurzel ist ein Ausdruck der Form

${\displaystyle \left(\left(\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}+p_{3}\right)^{a}+p_{4}\right)^{a}+\dotsb }$,

wobei ${\displaystyle 0<a<1}$ und ${\displaystyle \left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge positiver reeller Zahlen ist.

Aus einer so definierten Kettenwurzel lässt sich die Kettenwurzel-Folge ${\displaystyle \left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ mit

${\displaystyle P_{1}=p_{1}^{a}}$,

${\displaystyle P_{2}=\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}}$,

${\displaystyle P_{3}=\left(\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}+p_{3}\right)^{a}}$,

${\displaystyle P_{4}=\left(\left(\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}+p_{3}\right)^{a}+p_{4}\right)^{a}}$, …

bilden.

Ist ${\displaystyle a={\frac {1}{2}}}$, so sind ${\displaystyle p_{n}^{a}}$ Quadratwurzeln (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$).

• Für ${\displaystyle p_{n}=1}$ ist

${\displaystyle {\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dotsb }}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi }$

der Goldene Schnitt.

• Für ${\displaystyle p_{n}=2}$ gilt

${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dotsb }}}}}}}}=2}$.

• Näherungsweise gilt:

Mit ${\displaystyle p_{n}=n}$:

${\displaystyle {\sqrt {1+{\sqrt {2+{\sqrt {3+{\sqrt {4+\dotsb }}}}}}}}\approx 1{,}757932757}$

Mit ${\displaystyle p_{n}=n^{n}}$:

${\displaystyle {\sqrt {1+{\sqrt {4+{\sqrt {27+{\sqrt {256+\dotsb }}}}}}}}\approx 2{,}066176687}$

Mit ${\displaystyle p_{n}=n!^{n}}$:

${\displaystyle {\sqrt {1+{\sqrt {4+{\sqrt {216+{\sqrt {331776+\dotsb }}}}}}}}\approx 2{,}618086580}$

Dieses letzte Beispiel verdeutlicht in besonderer Weise, dass trotz einer rapide anwachsenden Folge ${\displaystyle \left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ die zugehörige Kettenwurzel einen endlichen Wert annehmen kann.

Gegeben sei eine Kettenwurzel-Folge ${\displaystyle \left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ mit der zugrunde liegenden Kettenwurzel ${\displaystyle \left(\left(\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}+p_{3}\right)^{a}+p_{4}\right)^{a}+\dotsb }$ und der Folge ${\displaystyle \left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ positiver reeller Zahlen (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$).

Dann konvergiert ${\displaystyle \left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ genau dann, wenn es eine reelle Zahl ${\displaystyle C}$ gibt mit

${\displaystyle a^{n}\log p_{n}\leq C}$.^[1]

Alle Kettenwurzel-Folgen in den obigen Beispielen sind nach diesem Kriterium konvergent.

Da in den ersten beiden Beispielen die Folge ${\displaystyle \left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ jeweils konstante Glieder ${\displaystyle p_{n}=p}$ hat, tritt für beliebiges ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ jeder Rest-Abschnitt der betreffenden Kettenwurzel als Grenzwert ${\displaystyle x>0}$ von ${\displaystyle \left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ auf. Somit lässt sich ${\displaystyle x}$ jeweils folgendermaßen bestimmen, wobei stets nur die positive Lösung infrage kommt:

Im ersten Beispiel:

${\displaystyle x={\sqrt {1+x}}\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}=1+x\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}-x-1=0\quad \Leftrightarrow \quad x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi }$

Im zweiten Beispiel:

${\displaystyle x={\sqrt {2+x}}\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}=2+x\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}-x-2=0\quad \Leftrightarrow \quad x=2}$^[2]

Ersetzt man in den ersten beiden Beispielen allgemein die Zahlen ${\displaystyle 1}$ bzw. ${\displaystyle 2}$ durch ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$, so ergibt sich analog:

${\displaystyle x={\sqrt {p+x}}\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}=p+x\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}-x-p=0\quad \Leftrightarrow \quad x={\frac {1+{\sqrt {4p+1}}}{2}}}$

Für ${\displaystyle p=6}$ ist beispielsweise ${\displaystyle x=3}$ der nächste ganzzahlige Grenzwert.

• Pierre Collet, Jean-Pierre Eckmann: Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems Birkhäuser Verlag, Basel 1986
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen, Band 2, dritte Auflage, Stuttgart 1957, Seite 46
• Walter S. Sizer: Continued roots Mathematics Magazine 59, 23–27 (1986), https://doi.org/10.1080/0025570X.1986.11977215

• Peter Kubach: Kettenwurzel und Kettenbruch aus kubach-mathe.de, abgerufen am 3. Mai 2023
• Hans Walser: Kettenwurzeln aus walser-h-m.ch, abgerufen am 3. Mai 2023

1. ↑ Detlef Laugwitz: Kettenwurzeln und Kettenoperationen In: Elemente der Mathematik, Vol. 45, Nr. 4, Seiten 89–98, Basel, Juli 1990 http://doi.org/10.5169/seals-42415
2. ↑ Unendliche Kettenbrüche und Kettenwurzeln aus hs-fulda.de, abgerufen am 3. Mai 2023