Kettenlogarithmus

Ein Kettenlogarithmus ist ein Objekt der reellen Analysis, das, ähnlich wie ein Kettenbruch, eine Darstellung der reellen Zahlen erlaubt. Ein endlicher Kettenlogarithmus zu einer ganzzahligen Basis ${\displaystyle m\geq 3}$ ist ein Ausdruck der Form

${\displaystyle K\log _{m}(d_{1},\dots ,d_{n}):=\log _{m}(d_{1}+\log _{m}(d_{2}+\log _{m}(\dots +\log _{m}(d_{n})\dots ),}$

mit ${\displaystyle d_{k}\in \{1,\dots ,m-1\}}$ für ${\displaystyle k=1,\dots n}$. ${\displaystyle \log _{m}(x)}$ bezeichnet den Logarithmus zur Basis ${\displaystyle m}$ von ${\displaystyle x}$. Ein unendlicher Kettenlogarithmus ist durch den Grenzwert

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\it {K\log }}_{m}(d_{1},\dots ,d_{n}),}$

für eine Folge in ${\displaystyle \{1,\dots ,m-1\}^{\mathbb {N} }}$, gegeben. Für eine Basis ${\displaystyle m\geq 3}$ hat jede reelle Zahl in ${\displaystyle [0,1]}$ eine Darstellung durch einen unendlichen Kettenlogarithmus und diese Darstellung ist bis auf einen abzählbare Menge reeller Zahlen eindeutig. In der Darstellung fast aller reellen Zahlen in ${\displaystyle [0,1]}$, in Bezug auf das Lebesgue-Maß, kommen alle Zahlen in ${\displaystyle \{1,\dots ,m-1\}}$ unendlich oft vor. Auf der anderen Seite sind fast alle Zahlen nicht normal im Bezug auf ihre Darstellung als Kettenlogarithmus, d. h. die Zahlen in ${\displaystyle \{1,\dots ,m-1\}}$ kommen nicht mit gleicher Häufigkeit vor.^[1]

1. ↑ Jörg Neunhäuserer: Continued logarithm representation of real numbers.