Kerr-Newman-De-Sitter-Metrik

Die Kerr-Newman-De-Sitter-Metrik (kurz KNdS-Metrik, ${\displaystyle \Lambda >0}$) und Kerr-Newman-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz KNAdS-Metrik, ${\displaystyle \Lambda <0}$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Kerr-Newman-Metrik (${\displaystyle \Lambda =0}$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante ${\displaystyle \Lambda }$. Außerhalb von Materie sind diese daher spezielle Elektrovakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit dem elektromagnetischem Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes und mit dunkler Energie. Die Kerr-New-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-, Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter- und Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik.

Mit der Masse ${\displaystyle M}$, der elektrischen Ladung ${\displaystyle Q}$, dem Drehimpuls ${\displaystyle a}$ und der kosmologischen Konstante ${\displaystyle \Lambda }$ ist die Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik gegeben durch:^[1][2][3][4]

${\displaystyle g_{\rm {tt}}=-{\frac {3\left(a^{2}\sin ^{2}\theta \left(a^{2}\Lambda \cos ^{2}\theta +3\right)+a^{2}\left(\Lambda r^{2}-3\right)+\Lambda r^{4}-3r^{2}+6r-3Q^{2}\right)}{\left(a^{2}\Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}}$

${\displaystyle g_{\rm {rr}}=3{\frac {a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}}{\left(a^{2}+r^{2}\right)\left(\Lambda r^{2}-3\right)+6r-3Q^{2}}}}$

${\displaystyle g_{\rm {\theta \theta }}=-{\frac {3\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}{a^{2}\Lambda \cos ^{2}\theta +3}}}$

${\displaystyle g_{\rm {\phi \phi }}=-{\frac {3\left(\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \left(a^{2}\Lambda \cos ^{2}\theta +3\right)-a^{2}\sin ^{4}\theta \left(\left(a^{2}+r^{2}\right)\left(3-\Lambda r^{2}\right)-6r+3Q^{2}\right)\right)}{\left(a^{2}\Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}}$

${\displaystyle g_{\rm {t\phi }}={\frac {3a\sin ^{2}\theta \left(a^{2}\Lambda \left(a^{2}+r^{2}\right)\cos ^{2}\theta +a^{2}\Lambda r^{2}+\Lambda r^{4}+6r-3Q^{2}\right)}{\left(a^{2}\Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}}$

Singularitäten ergeben sich auf zwei verschiedene Arten: Zum einen durch Stellen, an denen die Metrik nicht definiert ist, also für verschwindende Nenner in den obigen Ausdrücken. (Etwa ergibt der Nenner von ${\displaystyle g_{\rm {rr}}}$ dabei die winkelunabhängige Polynomgleichung:

${\displaystyle \left(a^{2}+r^{2}\right)\left(\Lambda r^{2}-3\right)+6r-3Q^{2}=0}$

vierten Grades für den Radius.) Zum anderen an Stellen, an denen die Metrik singulär wird, also sich nicht mehr invertieren lässt, was durch die Determinante beschrieben werden kann:

${\displaystyle g_{\rm {rr}}g_{\rm {\theta \theta }}\left(g_{\rm {tt}}g_{\rm {\phi \phi }}-g_{\rm {t\phi }}^{2}\right)=0.}$

Aufgrund der Polynome höheren Grades in den Radien oder den trigonometrischen Termen der Winkel sind die Singularitäten schwer zu bestimmen. Diese beschreiben zwei Ereignishorizonte und zwei Ergosphären der Kerr-Newman-(Anti)-de Sitter-Metrik.

• Zdeněk Stuchlík, Stanislav Hledík: Equatorial photon motion in the Kerr-Newman spacetimes with a non-zero cosmological constant. In: Classical and Quantum Gravity. Band 17, Nr. 21, 17. März 2008, doi:10.1088/0264-9381/17/21/312, arxiv:0803.2539 (englisch). 
• G. V. Kraniotis: Gravitational lensing and frame dragging of light in the Kerr-Newman and the Kerr-Newman-(anti) de Sitter black hole spacetimes. In: General Relativity and Gravitation. Band 46, Nr. 11, 28. Januar 2014, doi:10.1007/s10714-014-1818-8, arxiv:1401.7118 (englisch). 
• Michael T.N. Imseis, Abdulrahim Al Balushi, Robert B. Mann: Null Hypersurfaces in Kerr-Newman-AdS Black Hole and Super-Entropic Black Hole Spacetimes. In: Classical and Quantum Gravity. Band 38, Nr. 4, 8. Juli 2020, doi:10.48550/arXiv.2007.04354, arxiv:2007.04354 (englisch). 
• Arthur Garnier: Motion equations in a Kerr-Newman-de Sitter spacetime: some methods of integration and application to black holes shadowing in Scilab. In: Classical and Quantum Gravity. Band 40, Nr. 13, 23. Juli 2023, doi:10.48550/arXiv.2307.04073, arxiv:2307.04073 (englisch). 

1. ↑ Stuchlík & Hledík 2008, Gleichungen (1) bis (5)
2. ↑ Kraniotis 2014, Gleichungen (1) bis (4)
3. ↑ Imseis, Balushi & Mann 2020, Gleichungen (2.1) und (2.2)
4. ↑ Garnier 2023, S. 4