Kern eines lokalkompakten Raumes

Der Kern eines lokalkompakten Raumes bezeichnet in der Topologie eine kardinale Invariante eines lokalkompakten Raums ${\displaystyle X}$ und wird mit ${\displaystyle \operatorname {cor} (X)}$ notiert. Lokalkompakte Räume mit abzählbarem Kern verallgemeinern lokalkompakte σ-kompakte Räume.

Das Konzept wurde von Alexander Archangelski eingeführt.^[1][2]

Sei ${\displaystyle X}$ lokalkompakter Raum, der hausdorffsch ist. Eine Teilmenge ${\displaystyle S\subseteq X}$ heißt saturiert, wenn sie in ${\displaystyle X}$ abgeschlossen ist und ${\displaystyle S\cap P\neq \emptyset }$ für jede abgeschlossene, nicht-kompakte Teilmenge ${\displaystyle P\subseteq X}$ gilt.^[3]

Der Kern ${\displaystyle \operatorname {cor} (X)}$ ist die kleinste Kardinalzahl ${\displaystyle \tau }$, für die es eine Familie ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{j})}$ von saturierten Teilmengen von ${\displaystyle X}$ gibt, so dass für die Anzahl der saturierten Mengen ${\displaystyle |\gamma |\leq \tau }$ und

${\displaystyle \bigcap _{j}\gamma _{j}=\emptyset }$ gilt.^[4]

Ein Kern heißt abzählbarer Kern, wenn ${\displaystyle \operatorname {cor} (X)\leq \omega }$ gilt. Der Kern eines diskreten Raumes ist genau dann abzählbar, wenn ${\displaystyle X}$ abzählbar ist.

• Der Kern jedes lokalkompakten Lindelöf-Raumes ist abzählbar.
• Sei ${\displaystyle X}$ lokalkompakt mit abzählbaren Kern. Dann ist jede abgeschlossene diskrete Teilmenge H von X abzählbar, das heißt der Extent ${\displaystyle e(X)=\{Y\colon Y{\text{ ist abgeschlossene und diskrete Teilmenge von }}X\}}$ ist abzählbar.
• Lokalkompakte Räume mit abzählbaren Kern sind unter einer breiten Menge an Bedingungen σ-kompakt.^[5]
• Eine Teilmenge ${\displaystyle Y}$ von ${\displaystyle X}$ heißt kompakt von innen (englisch compact from inside) von ${\displaystyle X}$, falls jede Teilmenge ${\displaystyle F}$ von ${\displaystyle Y}$, welche in ${\displaystyle X}$ abgeschlossen ist, kompakt ist. Ein lokalkompakter Raum ${\displaystyle X}$ besitzt einen abzählbaren Kern, wenn es eine abzählbare offene Überdeckung von Mengen gibt, die kompakt von innen von ${\displaystyle X}$ sind.^[6]

1. ↑ Alexander V. Arhangel'skii: Locally compact spaces of countable core and Alexandroff compactification. In: Topology and its Applications. Band 154, Nr. 3, 2007, ISSN 0166-8641, S. 625–634, doi:10.1016/j.topol.2005.05.011. 
2. ↑ Franklin Tall: On a Core Concept of Arhangel’skiĭ. In: Topology and its Applications. Band 157, 2010, S. 1541–1547, doi:10.1016/j.topol.2009.05.018. 
3. ↑ Alexander V. Arhangel'skii: Locally compact spaces of countable core and Alexandroff compactification. In: Topology and its Applications. Band 154, Nr. 3, 2007, ISSN 0166-8641, S. 626, doi:10.1016/j.topol.2005.05.011. 
4. ↑ Alexander V. Arhangel'skii: Locally compact spaces of countable core and Alexandroff compactification. In: Topology and its Applications. Band 154, Nr. 3, 2007, ISSN 0166-8641, S. 626, doi:10.1016/j.topol.2005.05.011. 
5. ↑ Alexander V. Arhangel'skii: Locally compact spaces of countable core and Alexandroff compactification. In: Topology and its Applications. Band 154, Nr. 3, 2007, ISSN 0166-8641, S. 627–628, doi:10.1016/j.topol.2005.05.011. 
6. ↑ Franklin Tall: On a Core Concept of Arhangel’skiĭ. In: Topology and its Applications. Band 157, 2010, S. 1541, doi:10.1016/j.topol.2009.05.018.