John-Nirenberg-Ungleichung

Die John-Nirenberg-Ungleichung ist eine Abschätzung, die nach Fritz John und Louis Nirenberg benannt ist. Sie beschreibt, wie weit eine zum BMO-Raum gehörende Funktion von ihrem Durchschnitt um einen bestimmten Betrag abweichen darf. Dabei kann man die folgenden zwei Sätze unterscheiden.

Es sei ${\displaystyle Q_{0}}$ ein achsenparalleler Würfel im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$. Für eine integrierbare Funktion ${\displaystyle \mu \colon Q_{0}\rightarrow \mathbb {R} ^{N}}$ setzt man

${\displaystyle [\mu ]_{*}=[\mu ]_{*,Q_{0}}:=\sup _{Q\subset Q_{0}}\int _{Q}^{}\left|\mu (x)-\mu _{Q}\right|\mathrm {d} x}$,

wobei das Supremum über alle achsenparallele Würfel ${\displaystyle Q\subset Q_{0}}$ gebildet wird und

${\displaystyle \mu _{Q}:={\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}\mu (x)\mathrm {d} x}$

für den Durchschnittswert von ${\displaystyle \mu }$ auf dem Würfel ${\displaystyle Q}$ steht.

Dann ist ${\displaystyle [\cdot ]_{*}=[\cdot ]_{*,Q_{0}}}$ eine Halbnorm, die sogenannte BMO-Halbnorm, und man bezeichnet mit ${\displaystyle BMO\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}$ den Raum aller ${\displaystyle \mu \in L^{1}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}$ mit ${\displaystyle [\mu ]_{*}<\infty }$. Außerdem definiert man für ${\displaystyle \mu \in BMO\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right),\sigma >0}$ und ${\displaystyle Q\subset Q_{0}}$ die Teilmenge

${\displaystyle \Gamma _{\sigma ,Q}(\mu ):=\left\{x\in Q:\mid \mu (x)-\mu _{Q}\mid >\sigma \right\}}$

aller ${\displaystyle x\in Q}$, deren Funktionswert ${\displaystyle \mu (x)}$ um mehr als ${\displaystyle \sigma }$ vom Mittelwert der Funktion abweicht.

Es gibt zwei positive Konstanten ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle A}$, welche nur von der Dimension ${\displaystyle N}$ abhängen^[1], sodass für alle ${\displaystyle \mu \in }$ ${\displaystyle BMO\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}$ und ${\displaystyle \sigma >0}$ gilt:

${\displaystyle \left|\Gamma _{\sigma ,Q_{0}}(\mu )\right|\leqslant A\exp \left({\frac {-\alpha \sigma }{[\mu ]_{*,Q_{0}}}}\right)\left|Q_{0}\right|}$

Als direkte Folgerung ergibt sich nun eine ${\displaystyle L^{p}}$-Abschätzung für Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation:

Ist ${\displaystyle \mu \in BMO\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}$, so gilt ${\displaystyle \mu \in L^{p}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}$ für alle ${\displaystyle p\geq 1}$ und für jeden achsenparallelen Würfel ${\displaystyle Q\subset Q_{0}}$ erhält man:

${\displaystyle \int _{Q}^{}\mid \mu -\mu _{Q}\mid ^{p}dx\leqslant C[\mu ]_{*,Q}^{p}}$

mit einer Konstante ${\displaystyle C=C(p,\alpha ,A)}$.

Angenommen für ${\displaystyle \mu \in L^{1}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}$ existieren Konstanten ${\displaystyle k>0}$ und ${\displaystyle p>1}$, sodass jede Zerlegung ${\displaystyle \left(Q_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} }}$ von ${\displaystyle Q_{0}}$ im Würfel ${\displaystyle Q_{j}}$ mit paarweise disjunktem Inneren (also ${\displaystyle {\dot {Q}}_{j}\cap {\dot {Q}}_{i}=\varnothing }$ mit ${\displaystyle i\neq j}$) gilt:

${\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{\infty }\left|Q_{j}\right|\left(\int \limits _{Q_{j}}^{}\left|\mu -\mu _{Q_{j}}\right|dx\right)^{p}\leqslant k^{p}}$

Man bezeichne nun mit ${\displaystyle [\mu ]_{p,Q_{0}}}$ die kleinste Konstante, für welche diese Eigenschaft erfüllt ist. Dann gilt mit einer Konstante ${\displaystyle A=A(\mu ,p)}$:

${\displaystyle \left|\Gamma _{\sigma ,Q_{0}}(\mu )\right|=\left|\left\{x\in Q_{0}:\left|\mu (x)-\mu _{Q_{0}}\right|>\sigma \right\}\right|\leqslant A\left({\frac {[\mu ]_{{p},Q_{0}}}{\sigma }}\right)^{p}}$

• Kinnunen, J; Myyryläinen, K; Yang, D: John–Nirenberg inequalities for parabolic BMO. Mathematische Annalen, Springer Verlag, vol. 387, Seite 1125–1162, 2023
• Chul Pak, H: On the John–Nirenberg inequality. Journal of Inequalities and Applications, Article 130, 2020

1. ↑ Marc-Robin Wendt: Einführung in den Raum der Funktionen mit beschrankter mittlerer Oszillation. Abgerufen am 21. Januar 2025