Jacobische Differentialgleichung

Die nach Carl Gustav Jacob Jacobi benannte jacobische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

${\displaystyle y'=f\left({\frac {ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma }}\right)\ .}$

Ein wichtiger Spezialfall ist die Euler-homogene Differentialgleichung (nach Leonhard Euler), auch Ähnlichkeitsdifferentialgleichung genannt^[1],

${\displaystyle y'=f\left({\frac {y}{x}}\right).}$

Hier muss eine Fallunterscheidung danach gemacht werden, ob ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b\\\alpha &\beta \\\end{pmatrix}}}$ verschwindet oder nicht.

Wegen ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b\\\alpha &\beta \\\end{pmatrix}}\neq 0}$ gibt es (eindeutige) ${\displaystyle x^{\star },y^{\star }\in \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle {\begin{array}{lcll}&ax^{\star }+by^{\star }&=&-c\\\wedge &\alpha x^{\star }+\beta y^{\star }&=&-\gamma \ .\\\end{array}}}$

Dann folgt

${\displaystyle {\frac {ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma }}={\frac {a(x-x^{\star })+b(y-y^{\star })}{\alpha (x-x^{\star })+\beta (y-y^{\star })}}={\frac {a+b{\frac {y-y^{\star }}{x-x^{\star }}}}{\alpha +\beta {\frac {y-y^{\star }}{x-x^{\star }}}}}\ .}$

Nun gilt: Für jede Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung

${\displaystyle u'=f\left({\frac {a+b{\frac {u}{x}}}{\alpha +\beta {\frac {u}{x}}}}\right)=g\left({\frac {u}{x}}\right)\ ,\ g(s):=f\left({\frac {a+bs}{\alpha +\beta s}}\right)}$

ist ${\displaystyle y(x):=y^{\star }+u(x-x^{\star })}$ Lösung der ursprünglichen jacobischen Differentialgleichung, denn man erhält

${\displaystyle y'(x)=u'(x-x^{\star })=f\left({\frac {a+b{\frac {u(x-x^{\star })}{x-x^{\star }}}}{\alpha +\beta {\frac {u(x-x^{\star })}{x-x^{\star }}}}}\right)=f\left({\frac {a+b{\frac {y(x)-y^{\star }}{x-x^{\star }}}}{\alpha +\beta {\frac {y(x)-y^{\star }}{x-x^{\star }}}}}\right)=f\left({\frac {ax+by(x)+c}{\alpha x+\beta y(x)+\gamma }}\right).}$

Somit wird das Lösen einer jacobischen Differentialgleichung auf das Lösen einer Euler-homogenen Differentialgleichung zurückgeführt.

Sei nun ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b\\\alpha &\beta \\\end{pmatrix}}=0}$. Es sind drei Fälle zu unterscheiden.

• Der Fall ${\displaystyle b=\beta =0}$

Dieser Fall ist trivial, da die rechte Seite Differentialgleichung nicht mehr von ${\displaystyle y}$ abhängt.

• Der Fall ${\displaystyle a=\lambda \alpha ,b=\lambda \beta ,\beta \neq 0}$

Für alle Lösungen ${\displaystyle z}$ der separierten Differentialgleichung

${\displaystyle z'=\alpha +\beta f\left({\frac {\lambda z+c}{z+\gamma }}\right)}$

ist ${\displaystyle y(x):={\frac {1}{\beta }}(z(x)-\alpha x)}$ Lösung der jacobischen Differentialgleichung, denn es gilt

${\displaystyle y'(x)={\frac {1}{\beta }}(\alpha +\beta f\left({\frac {\lambda z(x)+c}{z(x)+\gamma }}\right)-\alpha )=f\left({\frac {\lambda (\alpha x+\beta y(x))+c}{\alpha x+\beta y(x)+\gamma }}\right)=f\left({\frac {ax+by(x)+c}{\alpha x+\beta y(x)+\gamma }}\right)\ .}$

Also ist hier das Verfahren der Trennung der Veränderlichen anwendbar.

• Der Fall ${\displaystyle \alpha =\beta =0,b\neq 0}$

Dies geht analog zum vorigen Fall: Für alle Lösungen ${\displaystyle z}$ der separierten Differentialgleichung

${\displaystyle z'=a+bf\left({\frac {z+c}{\gamma }}\right)}$

ist ${\displaystyle y(x):={\frac {1}{b}}(z(x)-ax)}$ Lösung der jacobischen Differentialgleichung.

Gegeben sei eine Euler-homogene Differentialgleichung ${\displaystyle y'=g\left({\frac {y}{x}}\right)}$. Für jede Lösung ${\displaystyle z}$ der separierten Differentialgleichung

${\displaystyle z'(x)={\frac {1}{x}}(g(z)-z)}$

ist ${\displaystyle y(x):=x\cdot z(x)}$ Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung wegen

${\displaystyle y'(x)=z(x)+xz'(x)=g(z(x))=g\left({\frac {y(x)}{x}}\right)\ .}$

Die Differentialgleichung für ${\displaystyle z}$ kann man mit dem Verfahren der Trennung der Veränderlichen weiter behandeln.

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. B.G. Teubner Stuttgart, 1995, ISBN 3-519-22227-2

1. ↑ Heidrun Günzel: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Oldenbourg-Verlag, 2008, ISBN 978-3486-58555-1, S. 55