Jacobi-Polynom

Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome, sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall ${\displaystyle [-1,1]}$ bezüglich der Gewichtsfunktion ${\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$ mit ${\displaystyle \alpha ,\beta >-1}$. Sie haben die explizite Form^[1]

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{m},}$

oder mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={n+\alpha \choose n}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+n+\alpha +\beta ;\alpha +1;{\frac {1-x}{2}}\right).}$

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-x)^{-\alpha }(1+x)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x)^{\alpha +n}(1+x)^{\beta +n}\right],~~~\alpha ,\beta >-1}$

Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.

${\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(x)=1}$

${\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {1}{2}}{\bigl (}\alpha -\beta +(\alpha +\beta +2)x{\bigr )}}$

${\displaystyle a_{n}^{1}P_{n+1}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(a_{n}^{2}+a_{n}^{3}x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)-a_{n}^{4}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$

mit den Konstanten:

${\displaystyle a_{n}^{1}=2(n+1)(n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta )}$

${\displaystyle a_{n}^{2}=(2n+\alpha +\beta +1)(\alpha ^{2}-\beta ^{2})}$

${\displaystyle a_{n}^{3}=(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta +2)}$

${\displaystyle a_{n}^{4}=2(n+\alpha )(n+\beta )(2n+\alpha +\beta +2)}$

Der Wert für ${\displaystyle x=1}$ ist

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{\Gamma (\alpha +1)n!}}}$.

Es gilt die folgende Symmetriebeziehung

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-x)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(x)\,,}$

woraus sich der Wert für ${\displaystyle x=-1}$ ergibt:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}$

Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung

${\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}.}$

Aus der expliziten Form können die ${\displaystyle k}$-ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\;\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(x).}$

Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{0}&b_{1}&0&\dots &0\\b_{1}&a_{1}&b_{2}&\ddots &\vdots \\0&b_{2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &b_{n-1}\\0&\dots &0&b_{n-1}&a_{n-1}\end{pmatrix}}}$

mit

${\displaystyle a_{0}={\frac {\beta -\alpha }{2+\alpha +\beta }}}$

${\displaystyle a_{j}={\frac {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}{(2j+\alpha +\beta )(2j+2+\alpha +\beta )}},~~~j=1,\dots ,n-1}$

${\displaystyle b_{1}={\sqrt {\frac {4(1+\alpha )(1+\beta )}{(2+\alpha +\beta )^{2}(3+\alpha +\beta )}}}}$

${\displaystyle b_{j}={\sqrt {\frac {4j(j+\alpha )(j+\beta )(j+\alpha +\beta )}{(2j-1+\alpha +\beta )(2j+\alpha +\beta )^{2}(2j+1+\alpha +\beta )}}},~~~j=2,\dots ,n-1}$

stimmen mit den Nullstellen von ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$ überein.^[2] Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall ${\displaystyle (-1,1)}$ liegen.

Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )={\frac {\cos \left(\left[n+(\alpha +\beta +1)/2\right]\theta -\left[2\alpha +1\right]\pi /4\right)}{{\sqrt {\pi n}}\left[\sin(\theta /2)\right]^{\alpha +1/2}\left[\cos(\theta /2)\right]^{\beta +1/2}}}+{\mathcal {O}}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta <\pi .}$

Für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} ,|z|<1}$ gilt

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)z^{n}=2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta },~~~f(x,z)={\sqrt {1-2xz+z^{2}}}.}$

Die Funktion

${\displaystyle z\mapsto 2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta }}$

wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.

Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:

• für ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$: Legendre-Polynome
• Gegenbauer-Polynome
• Tschebyschow-Polynome erster und zweiter Ordnung
• der Radialterm der Zernike-Polynome

Ein nützlicher Spezialfall der Jacobi-Polynome tritt bei kugelsymmetrischen Problemstellungen auf, bei denen Lösungen nur vom Radius ${\displaystyle r}$ abhängen. Dabei treten häufig Integrale mit Gewicht ${\displaystyle r^{\beta }}$ auf, etwa bei elektrischen Feldern, Dichteprofilen oder Temperaturverteilungen in Kugelkoordinaten. Durch die Transformation ${\displaystyle x=2r-1}$ lassen sich die Jacobi-Polynome ${\displaystyle P_{n}^{(0,\beta )}(x)}$ auf das Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ mit Gewicht ${\displaystyle r^{\beta }}$ übertragen.

Dies führt zu einer explizit orthonormalisierten Darstellung:

${\displaystyle F_{n}^{(\beta )}(r)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{\frac {{\sqrt {1+\beta +2n}}\cdot \Gamma (n+k+\beta +1)}{\Gamma (k+1)\,\Gamma (n-k+1)\,\Gamma (k+\beta +1)}}\,r^{k},\quad r\in [0,1]}$

Diese Polynome erfüllen die Orthonormalitätsrelation:

${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{n}^{(\beta )}(r)\,F_{m}^{(\beta )}(r)\,r^{\beta }\,dr=\delta _{nm}.}$

Die Funktionen ${\displaystyle F_{n}^{(\beta )}(r)}$ bilden eine normierte, monomiale Basis und sind insbesondere nützlich für radial gewichtete Funktionen auf Kugelintervallen. Sie entsprechen (bis auf Normierung) den Jacobi-Polynomen ${\displaystyle P_{n}^{(0,\beta )}(2r-1)}$.

• Eric W. Weisstein: Jacobi Polynomial. In: MathWorld (englisch).
• Sherwin Karniadakis: Spectral/hp Element Methods for CFD. 1. Auflage. Oxford University Press, New York 1999, ISBN 0-19-510226-6. 
• I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products. 5. Auflage. Academic Press Inc., Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto 1994, ISBN 0-12-294755-X. 
• Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. 1. Auflage. Edition am Gutenbergplatz Leipzig, Leipzig 2009, ISBN 3-937219-28-5. 

1. ↑ Abramowitz, Stegun (1965): Formel 22.3.2 - enthält darüber hinaus umfangreiche Zusatzinformationen und Belege für die weiteren hier genannten Formeln
2. ↑ Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. Hrsg.: Edition am Gutenbergplatz Leipzig. 2009, ISBN 3-937219-28-5 (Kapitel 2.2 und 2.4).