Jacobi-Identität

In der Mathematik erfüllt eine bilineare Abbildung ${\displaystyle F\colon V\times V\rightarrow V}$ auf dem Vektorraum ${\displaystyle V}$ die Jacobi-Identität (nach Carl Jacobi), falls gilt:

${\displaystyle F(F(x,y),z)+F(F(y,z),x)+F(F(z,x),y)=0}$

für alle ${\displaystyle x,y,z\in V}$.

Ist die bilineare Abbildung zusätzlich antisymmetrisch, so handelt es sich um eine Lie-Klammer. Wichtige Beispiele sind der Kommutator linearer Abbildungen, das Vektorprodukt und die Poisson-Klammer.

Es sei im Folgenden

${\displaystyle [{\cdot },{\cdot }]\colon V\times V\to V,\quad (x,y)\mapsto [x,y]}$

eine alternierende bilineare Abbildung. Die Jacobi-Identität ist dann äquivalent dazu, dass diese Abbildung die Struktur einer Lie-Algebra auf ${\displaystyle V}$ definiert.

Dann kann die Jacobi-Identität auf folgende Arten umgeschrieben werden:

• ${\displaystyle [x,[a,b]]=[[x,a],b]+[a,[x,b]]}$

Anders gesagt: die Abbildung

${\displaystyle a\mapsto [x,a]}$

ist eine Derivation bezüglich des Produktes ${\displaystyle [{\cdot },{\cdot }]}$.

• ${\displaystyle [[a,b],x]=[a,[b,x]]-[b,[a,x]]}$

Anders gesagt: Mit der Notation

${\displaystyle \operatorname {ad} (a)\colon V\to V,\quad x\mapsto \operatorname {ad} (a)(x)=[a,x]}$

gilt

${\displaystyle \operatorname {ad} ([a,b])=[\operatorname {ad} (a),\operatorname {ad} (b)];}$

dabei ist die Klammer auf der rechten Seite der Kommutator in der Endomorphismenalgebra von ${\displaystyle V}$. Anders gesagt: Die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon V\to {\mathfrak {gl}}(V)=\operatorname {End} V,\quad a\mapsto \operatorname {ad} (a)}$

ist eine Darstellung der Lie-Algebra ${\displaystyle V}$ auf sich selbst. Sie heißt die adjungierte Darstellung.

• Jacobi-Identität. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.