Hyperkonvexe Kurve

In der Mathematik sind hyperkonvexe Kurven gewisse Kurven im projektiven Raum, die unter anderem in der Darstellungstheorie von Flächengruppen von Bedeutung sind.

Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Der projektive Raum ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n-1}=P(\mathbb {R} ^{n})}$ ist der Raum aller 1-dimensionalen Unterräume des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Eine geschlossene Kurve

${\displaystyle \gamma :S^{1}\rightarrow P(\mathbb {R} ^{n})}$

heißt hyperkonvex, wenn für jedes ${\displaystyle n}$-Tupel ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ paarweise unterschiedlicher Punkte gilt:

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\gamma (x_{1})\oplus \ldots \oplus \gamma (x_{n})}$,

mit anderen Worten: wenn kein ${\displaystyle \gamma (x_{i})}$ in der linearen Hülle der ${\displaystyle \gamma (x_{j}),j\not =i}$ enthalten ist.

Eine hyperkonvexe Kurve ${\displaystyle \gamma :S^{1}\rightarrow P(\mathbb {R} ^{n})}$ heißt Frenet-Kurve, wenn es eine Familie ${\displaystyle (\gamma ^{1},\ldots ,\gamma ^{n-1})}$ von Abbildungen

${\displaystyle \gamma ^{p}:S^{1}\rightarrow Gr(p,n)}$

in die Grassmann-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle Gr(p,n)}$ gibt, so dass

• ${\displaystyle \gamma ^{1}=\gamma }$
• für ${\displaystyle l_{1}+\ldots +l_{r}\leq n}$ und alle ${\displaystyle r}$-Tupel ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{r})}$ paarweise unterschiedlicher Punkte ist ${\displaystyle \gamma ^{l_{1}}(x_{1})+\ldots +\gamma ^{l_{r}}(x_{r})}$ eine direkte Summe
• für ${\displaystyle l_{1}+\ldots +l_{r}\leq n}$ und für jede gegen ${\displaystyle (x,\ldots ,x)}$ konvergierende Folge ${\displaystyle (X_{i})_{i\in N}}$ von r-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte ${\displaystyle X_{i}=(x_{1,i},\ldots ,x_{r,i})}$ ist ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\bigoplus _{s=1}^{r}\gamma ^{l_{s}}(x_{s,i})=\gamma ^{l_{1}+\ldots +l_{r}}(x)}$.

Man beachte, dass die ${\displaystyle \gamma ^{p}}$ durch ${\displaystyle \gamma }$ eindeutig bestimmt sind. Falls ${\displaystyle \gamma \colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{n}}$ beliebig oft differenzierbar ist, dann ist ${\displaystyle \gamma ^{p}(x)}$ der von ${\displaystyle \gamma (x),\gamma ^{\prime }(x),\gamma ^{\prime \prime }(x),\ldots ,\gamma ^{(p-1)}(x)}$ aufgespannte Unterraum, der Begriff stimmt also mit dem in der Differentialgeometrie gebräuchlichen Begriff einer Frenet-Kurve überein.

Die Hitchin-Komponente ist eine Zusammenhangskomponente der Darstellungsvarietät einer Flächengruppe ${\displaystyle \pi _{1}S}$ in ${\displaystyle PSL(n,\mathbb {R} )}$, siehe Höhere Teichmüller-Theorie, die von Hitchin ursprünglich mit Hilfe von Higgs-Bündeln beschrieben wurde. Einer geometrischen Untersuchung zugänglich wird die Hitchin-Komponente durch folgenden Satz von Labourie:

Wenn eine Darstellung ${\displaystyle \rho :\pi _{1}S\rightarrow PSL(n,\mathbb {R} )}$ einer Flächengruppe zur Hitchin-Komponente gehört, dann gibt es eine hyperkonvexe Frenet-Kurve

${\displaystyle \gamma :S^{1}=\partial _{\infty }\pi _{1}S\rightarrow P(\mathbb {R} ^{n})}$,

die ${\displaystyle \rho }$-äquivariant bzgl. der kanonischen Wirkung von ${\displaystyle \pi _{1}S}$ auf ihrem Rand im Unendlichen ${\displaystyle \partial _{\infty }\pi _{1}S=S^{1}}$ und von ${\displaystyle PSL(n,\mathbb {R} )}$ auf ${\displaystyle P(\mathbb {R} ^{n})}$ ist. Man kann zeigen, dass jede äquivariante hyperkonvexe Kurve eine Frenet-Kurve ist. (Labourie)

Darstellungen, für die eine äquivariante hyperkonvexe Kurve existiert, werden als hyperkonvexe Darstellungen bezeichnet.

Es gilt auch die Umkehrung: Wenn eine Darstellung hyperkonvex ist, dann gehört sie zur Hitchin-Komponente. (Guichard)

• François Labourie: Anosov flows, surface groups and curves in projective space. Invent. Math. 165 (2006), no. 1, 51–114. pdf
• Olivier Guichard: Composantes de Hitchin et représentations hyperconvexes de groupes de surface. J. Differential Geom. 80 (2008), no. 3, 391–431 pdf