Hyperkählermannigfaltigkeit

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine Hyperkählermannigfaltigkeit eine ${\displaystyle 4n}$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,g)}$, deren Holonomiegruppe eine Untergruppe der kompakten symplektischen Gruppe ${\displaystyle Sp(n)}$ ist. Äquivalent hat sie drei Kähler-Strukturen ${\displaystyle I,J,K}$, die den von den Quaternionen bekannten Relationen ${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-Id}$ genügen.

Die Riemannsche Metrik ${\displaystyle g}$ heißt dann Hyperkählermetrik. Hyperkählermannigfaltigkeiten haben verschwindende Ricci-Krümmung und sind insbesondere Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

• Die komplex 2-dimensionalen Hyperkählermannigfaltigkeiten sind die K3-Flächen und die komplexen Tori ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\Gamma }$.
• Hilbert-Schemata von Punkten auf K3-Flächen sind Hyperkählermannigfaltigkeiten.
• Verallgemeinerte Kummer-Flächen sind Hyperkählermannigfaltigkeiten.
• Wenn eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit holomorph symplektisch ist, dann ist sie eine Hyperkählermannigfaltigkeit.

• N. Hitchin: Hyperkähler manifolds. Séminaire N. Bourbaki 34, S. 137–166