Hypergeometrische Differentialgleichung

Im Jahr 1778 wurde von Leonhard Euler die Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung angegeben.^[1] Sie steht in engem Zusammenhang mit der Gaußschen hypergeometrischen Funktion, die zuerst von Carl Friedrich Gauß systematisch untersucht wurde.

Die hypergeometrische Funktion ${\displaystyle \textstyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+k)\,\Gamma (b+k)\,\Gamma (c)}{\Gamma (a)\,\Gamma (b)\,\Gamma (c+k)}}{\frac {z^{k}}{k!}}}$, wobei ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ die Gammafunktion bezeichnet, genügt der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung:

${\displaystyle z(1-z){\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}z^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)-ab\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=0}$.

Die Differentialgleichung 2. Ordnung besitzt drei hebbare Singularitäten, deren Werte im Folgenden bestimmt werden.

Ausgehend von der Hypergeometrischen Differentialgleichung in der Darstellung

${\displaystyle {\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}z^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+p(z){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)-q(z)\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=0}$

mit

${\displaystyle p(z)={\frac {c-(a+b+1)z}{z(1-z)}}={\frac {c-cz+(c-a-b-1)z}{z(1-z)}}={\frac {c}{z}}+{\frac {c-a-b-1}{1-z}}}$

und

${\displaystyle q(z)={\frac {ab}{z(1-z)}}}$

erhält man die beiden hebbaren Singularitäten bei ${\displaystyle z=0}$ und ${\displaystyle z=1}$.

Die dritte hebbare Singularität wird durch die Substitution ${\displaystyle \textstyle t={\frac {1}{z}},{\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}z}}={\frac {-1}{z^{2}}}=-t^{2}}$ erhalten. Zunächst werden dazu die Ableitungen der hypergeometrische Funktion wie folgt substituiert:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}z}}=-t^{2}\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)}$

und

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}z^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\Big (}-t^{2}\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t){\Big )}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}z}}\\&=-t^{2}{\Big (}-2t\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)-t^{2}\cdot {\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}t^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t){\Big )}\\&=t^{4}\cdot {\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}t^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)+2t^{3}\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)\end{aligned}}}$

Somit nimmt die hypergeometrische Differentialgleichung, nach Division durch ${\displaystyle t^{4}}$, folgende Gestalt an:

${\displaystyle {\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}t^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)+{\tilde {p}}(t)\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)-{\tilde {q}}(t)\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)=0}$

mit

${\displaystyle {\tilde {p}}(t)={\frac {2}{t}}+{\frac {1}{t^{2}}}p(z={\tfrac {1}{t}})={\frac {2}{t}}+{\frac {1}{t^{2}}}{\Big (}ct+{\frac {c-a-b-1}{1-{\frac {1}{t}}}}{\Big )}={\frac {c+2}{t}}+{\frac {c-a-b-1}{t(t-1)}}}$

und

${\displaystyle {\tilde {q}}(t)={\frac {1}{t^{4}}}q(z={\tfrac {1}{t}})={\frac {1}{t^{4}}}{\frac {ab}{{\frac {1}{t}}(1-{\frac {1}{t}})}}={\frac {ab}{t^{2}(t-1)}}}$

Demnach besitzt die hypergeometrische Differentialgleichung zudem bei ${\displaystyle z={\tfrac {1}{t}}=\infty }$ eine hebbare Singularität.

Mit dem Potenzreihenansatz ${\displaystyle \textstyle u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}}$ mit komplexen Koeffizienten ${\displaystyle u_{k}}$ lautet die hypergeometrische Differentialgleichung:

${\displaystyle z(1-z){\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}z^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}-ab\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}=0}$.

Nach Ausführung der Ableitungen ergibt sich die Darstellung

${\displaystyle z(1-z)\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)u_{k}z^{k-2}+\left[c-(a+b+1)z\right]\sum _{k=1}^{\infty }ku_{k}z^{k-1}-ab\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}=0}$.

Zusammenfassen der Potenzen von ${\displaystyle z}$ führt zu

${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)u_{k}z^{k-1}-\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)u_{k}z^{k}+c\sum _{k=1}^{\infty }ku_{k}z^{k-1}-(a+b+1)\sum _{k=1}^{\infty }ku_{k}z^{k}-ab\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}=0}$.

Mittels Indexverschiebung ergibt sich

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(k+1)ku_{k+1}z^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1)u_{k}z^{k}+c\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)u_{k+1}z^{k}-(a+b+1)\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}z^{k}-ab\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}=0}$.

Diese Gleichung ist offensichtlich dann erfüllt, wenn:

${\displaystyle (k+1)ku_{k+1}-k(k-1)u_{k}+c(k+1)u_{k+1}-(a+b+1)ku_{k}-abu_{k}=0}$.

Somit ist für den Koeffizienten ${\displaystyle u_{k}}$ folgende Rekursion gefunden:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{k+1}&={\frac {k(k-1)+(a+b+1)k+ab}{(k+1)k+c(k+1)}}u_{k}\\&={\frac {k^{2}-k+ka+kb+k+ab}{(c+k)(1+k)}}u_{k}\\&={\frac {k^{2}+ka+kb+ab}{(c+k)(1+k)}}u_{k}\\&={\frac {(a+k)(b+k)}{(c+k)(1+k)}}u_{k}\\&={\frac {(a,k)(b,k)}{(c,k)(1,k)}}u_{0}\end{aligned}}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle (x,n)\equiv {\tfrac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}$ das Pochhammer-Symbol.

Wird als Anfangswert ${\displaystyle u_{0}=1}$ gesetzt, so lautet die erste Basislösung der hypergeometrischen Differentialgleichung:

${\displaystyle u(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a,k)(b,k)}{(c,k)(1,k)}}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+k)\,\Gamma (b+k)\,\Gamma (c)}{\Gamma (a)\,\Gamma (b)\,\Gamma (c+k)}}{\frac {z^{k}}{k!}}}$.

Für ${\displaystyle c\notin \mathbb {Z} }$ erhält man als zweite linear unabhängige Basislösung^[2]

${\displaystyle v(z)=z^{1-c}{}_{2}F_{1}(a-c+1,b-c+1;2-c;z)}$

Beide zusammen spannen den gesamten Lösungsraum der hypergeometrischen Differentialgleichung auf:

${\displaystyle y(z)=C_{1}u(z)+C_{2}v(z)}$ mit ${\displaystyle C_{1},C_{2}\in \mathbb {C} }$

• Gaußsche hypergeometrische Funktion
• Gammafunktion

• Leonhard Euler: Specimen transformationis singularis serierum. In: Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. 12. Jahrgang, 1801, S. 58 – 70 (maa.org). 

• Ludwig Bieberbach: Theorie der Differentialgleichungen Springer, Berlin 1930, Zweiter Abschnitt, IV. Kapitel, § 7, uni-goettingen.de

1. ↑ Leonhard Euler: Transformationis Singularis, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, Band 12, 1801, Seite 58–70, online bei books.google.de
2. ↑ Erwin Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons 1988, S. 204 f.