Hyperbolisch eingebettete Untergruppe

In der geometrischen Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist der Begriff der hyperbolisch eingebetteten Familien von Untergruppen eine Verallgemeinerung der peripheralen Struktur relativ hyperbolischer Gruppen.

Sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe. Eine Familie von Untergruppen ${\displaystyle \left\{H_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }}$ heißt hyperbolisch eingebettet, wenn es eine Teilmenge ${\displaystyle X\subset G}$ gibt, so dass gilt

• die Menge ${\displaystyle X\cup \bigcup _{\lambda \in \Lambda }H_{\lambda }}$ ist ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle G}$ und der zugehörige Cayley-Graph ${\displaystyle \Gamma (G,X\sqcup {\mathcal {H}})}$ (mit der disjunkten Vereinigung ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigsqcup H_{\lambda }}$) ist hyperbolisch, und
• für jedes ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ ist ${\displaystyle (H_{\lambda },{\hat {d}}_{\lambda })}$ ein eigentlicher metrischer Raum.

Dabei ist die Metrik ${\displaystyle d_{\lambda }}$ auf ${\displaystyle H_{\lambda }}$ definiert als die Länge kürzester Wege in ${\displaystyle \Gamma (G,X\cup {\mathcal {H}})}$, die keine Kanten des Cayley-Graphen ${\displaystyle \Gamma (H_{\lambda },H_{\lambda })}$ enthalten.

Man sagt in diesem Fall auch, dass ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle (G,X)}$ hyperbolisch eingebettet ist.

• Für jede Gruppe ${\displaystyle G}$ ist ${\displaystyle G}$ hyperbolisch eingebettet in ${\displaystyle G}$. Man kann ${\displaystyle X=\emptyset }$ nehmen.
• Sei ${\displaystyle G=H\times \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle X=\left\{1\right\}}$ ein Erzeuger von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Dann ist ${\displaystyle \Gamma (G,X\sqcup H)}$ quasi-isometrisch zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und deshalb hyperbolisch. Jedoch ist ${\displaystyle {\hat {d}}(h_{1},h_{2})\leq 3}$ für alle ${\displaystyle H_{1},h_{2}\in H}$. Wenn ${\displaystyle H}$ unendlich ist, ist ${\displaystyle H}$ damit nicht in ${\displaystyle (G,X)}$ hyperbolisch eingebettet.
• Sei ${\displaystyle G=H*\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle X=\left\{1\right\}}$ ein Erzeuger mit ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Dann ist ${\displaystyle \Gamma (G,X\sqcup H)}$ quasi-isometrisch zu einem Baum und ${\displaystyle {\hat {d}}(h_{1},h_{2})=\infty }$ für alle ${\displaystyle h_{1}\not =h_{2}}$. Damit ist ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle (G,X)}$ hyperbolisch eingebettet.
• Nach einem Satz von Dahmani-Guirardel-Osin ist ${\displaystyle G}$ genau dann hyperbolisch relativ zu ${\displaystyle \left\{H_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }}$, wenn es eine endliche Teilmenge ${\displaystyle X\subset G}$ gibt so, dass ${\displaystyle \left\{H_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }}$ hyperbolisch in ${\displaystyle (G,X)}$ eingebettet ist.

• F. Dahmani, V. Guirardel, D. Osin: Hyperbolically embedded subgroups and rotating families in groups acting on hyperbolic spaces. Mem. Amer. Math. Soc. 1156, 2016