Hilbert-Funktion

In der algebraischen Geometrie gibt die Hilbert-Funktion Informationen über die Anzahl der Hyperflächen zu einem gegebenen Grad. Für hinreichend große Argumente stimmt sie mit einem als Hilbert-Polynom bezeichneten Polynom überein.

Sei ${\displaystyle X\subset P^{n}}$ eine projektive Varietät mit Verschwindungsideal

${\displaystyle I(X)\subset K\left[Z_{0},\ldots ,Z_{n}\right]}$.

Für ${\displaystyle d\geq 1}$ sei

${\displaystyle I(X)_{d}=I(X)\cap K\left[Z_{0},\ldots ,Z_{n}\right]_{d}}$

der homogene Anteil vom Grad ${\displaystyle d}$. Der Koordinatenring ${\displaystyle S(X)}$ ist dann ein graduierter Ring

${\displaystyle S(X)=\bigoplus _{d\geq 0}S(X)_{d}}$

mit ${\displaystyle S(X)_{d}=K\left[Z_{0},\ldots ,Z_{n}\right]_{d}/I(X)_{d}}$.

Die Dimension von ${\displaystyle I(X)_{d}}$ gibt die Anzahl der unabhängigen, ${\displaystyle X}$ enthaltenden Hyperflächen vom Grad ${\displaystyle d}$. Die Hilbert-Funktion ${\displaystyle h_{X}}$ ist definiert durch

${\displaystyle h_{X}(d)=\dim S(X)_{d}}$,

sie gibt also die Kodimension von ${\displaystyle I(X)_{d}}$.

• Sei ${\displaystyle X=\left\{\left[1\colon 0\colon 0\right],\left[0\colon 1\colon 0\right],\left[0\colon 0\colon 1\right]\right\}\subset P^{2}}$. Dann ist ${\displaystyle h_{X}(d)=3}$ für alle ${\displaystyle d\geq 1}$.
• Sei ${\displaystyle X=\left\{\left[1\colon 0\colon 0\right],\left[0\colon 1\colon 0\right],\left[1\colon 1\colon 0\right]\right\}\subset P^{2}}$. Dann ist ${\displaystyle h_{X}(1)=2}$ und ${\displaystyle h_{X}(d)=3}$ für alle ${\displaystyle d\geq 2}$.
• Sei ${\displaystyle X\subset P^{n}}$ eine aus ${\displaystyle m}$ Punkten bestehende Menge. Dann ist ${\displaystyle h_{X}(d)=m}$ für ${\displaystyle d\geq m-1}$.
• Sei ${\displaystyle X\subset P^{2}}$ eine durch ein homogenes Polynom vom Grad ${\displaystyle k}$ gegebene Kurve. Dann ist ${\displaystyle h_{X}(d)=d\cdot k-{\frac {1}{2}}k(k-3)}$ für ${\displaystyle d\geq k}$.

Satz: Zu jeder projektiven Varietät ${\displaystyle X\subset P^{n}}$ gibt es ein Polynom ${\displaystyle H_{X}\in \mathbb {Q} \left[d\right]}$ vom Grad ${\displaystyle \dim(X)}$, so dass

${\displaystyle H_{X}(d)=h_{X}(d)}$

für alle hinreichend großen ${\displaystyle d\in \mathbb {Z} }$ gilt.

Das Polynom ${\displaystyle H_{X}}$ heißt das Hilbert-Polynom der Varietät ${\displaystyle X}$.

• Hilbert-Schema

• D. Eisenbud: Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer-Verlag New York, ISBN 0-387-94268-8

• D. Plaumann: Hilbert polynomials