Harmonische Abbildung

In der Mathematik ist harmonische Abbildung ein Begriff aus der Differentialgeometrie, der unter anderem die Begriffe harmonische Funktion und Geodätische verallgemeinert.

Es seien ${\displaystyle (M,g)}$ und ${\displaystyle (N,h)}$ Riemannsche Mannigfaltigkeiten, ${\displaystyle M}$ kompakt, und ${\displaystyle f\colon M\to N}$ eine glatte Abbildung. Die Energie von ${\displaystyle f}$ ist definiert als

${\displaystyle E(f)=\int _{\frac {1}{2}}\Vert df_{x}\Vert ^{2}d{\text{vol}}_{g}(x)}$,

mit ${\displaystyle \Vert df_{x}\Vert ^{2}:=\sum _{j=1}^{m}\Vert df_{x}(e_{j})\Vert ^{2}}$ für eine Orthonormalbasis ${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{m}\right\}}$ von ${\displaystyle T_{x}M}$.

Eine Abbildung ist harmonisch, wenn sie ein kritischer Punkt des Energiefunktionals ${\displaystyle f\mapsto E(f)}$ ist. Das bedeutet, dass für jede glatte Abbildung

${\displaystyle (-\epsilon ,\epsilon )\times M\to N,(t,x)\mapsto f_{t}(x)}$

mit ${\displaystyle f_{o}=f}$ die Ableitung der Funktion

${\displaystyle t\mapsto E(f_{t})}$

in ${\displaystyle t=0}$ verschwindet.

Die erste Variationsformel für die Energie gibt

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mid _{t=0}E(f_{t})=-\int _{M}g\left({\frac {\partial f_{t}}{\partial t}}\mid _{t=0},\tau (f)(x)\right)d{\text{vol}}_{g}}$

mit

${\displaystyle \tau (f)=Spur(\nabla df)(x)}$,

wobei ${\displaystyle \nabla }$ der auf ${\displaystyle T*M\otimes f^{*}T^{*}N}$ von den Levi-Civita-Zusammenhängen induzierte Zusammenhang ist. Damit ist eine Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to N}$ genau dann harmonisch, wenn die Spur von ${\displaystyle \nabla df}$ verschwindet. Explizit erhält man in jedem ${\displaystyle x}$ für eine Orthonormalbasis ${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{m}\right\}}$ von ${\displaystyle T_{x}M}$ die Bedingung

${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}\nabla df(e_{j},e_{j})=0}$.

In lokalen Koordinaten ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$ auf einer offenen Teilmenge von ${\displaystyle N}$ und mit ${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ in diesen Koordinaten ist ${\displaystyle \tau (f)=0}$ äquivalent zu dem Differentialgleichungssystem

${\displaystyle \nabla _{g}f_{j}+\sum _{k,l=1}^{n}\Gamma _{kl}^{n}(f)g^{*}(df_{k},df_{l})=0,\ \ 1\leq j\leq n}$

mit dem Laplace-Operator ${\displaystyle \Delta _{g}}$ der Metrik ${\displaystyle g}$, den Christoffel-Symbolen ${\displaystyle \Gamma _{kl}^{j}}$ der Metrik ${\displaystyle h}$ und der von ${\displaystyle g}$ auf ${\displaystyle T^{*}M}$ induzierten Metrik ${\displaystyle g^{*}}$.

• Wenn ${\displaystyle (N,h)}$ flach ist, dann ist eine Funktion genau dann harmonisch, wenn in flachen Koordinaten ${\displaystyle \Delta _{g}f_{j}=0}$ für ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ gilt.
• Für ${\displaystyle M=S^{1}}$ ist eine Abbildung ${\displaystyle f\colon S^{1}\to N}$ genau dann harmonisch, wenn sie eine Geodäte ist.
• Wenn ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ Kähler-Mannigfaltigkeiten sind, dann ist jede holomorphe oder antiholomorphe Abbildung harmonisch.

• J. Eells, J. Sampson: Harmonic mappings of Riemannian manifolds. Am. J. Math. 86, 109–160 (1964).