Grothendiecks Spursatz

Der Spursatz von Grothendieck ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis über die Spur und die Determinante einer bestimmten Klasse nuklearer Operatoren auf Banach-Räumen, der ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$-nuklearen Operatoren. Er ist eine Erweiterung des Satzes von Lidskii.^[1] Der Satz wurde von Alexander Grothendieck bewiesen.

Ein Banach-Raum ${\displaystyle B}$ hat die Approximationseigenschaft, falls für jedes kompakte ${\displaystyle K\subset B}$ und jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein Operator ${\displaystyle T}$ endlichen Ranges existiert, sodass für alle ${\displaystyle x\in K}$

${\displaystyle \|x-Tx\|<\varepsilon .}$

Sei ${\displaystyle A}$ ein nuklearer Operator auf einem Banach-Raum ${\displaystyle B}$ mit Approximationseigenschaft, dann ist ${\displaystyle A}$ ein ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$-Nuklearer Operator, falls er eine Zerlegung der Form

${\displaystyle A=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}\otimes f_{k}}$

besitzt, wobei ${\displaystyle \varphi _{k}\in B}$ und ${\displaystyle f_{k}\in B'}$ und

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }\|\varphi _{k}\|^{2/3}\|f_{k}\|^{2/3}<\infty .}$

Seien ${\displaystyle \lambda _{j}(A)}$ die Eigenwerte von einem ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$-nuklearen Operator ${\displaystyle A}$ mit ihren Vielfachheiten gezählt. Dann ist

${\displaystyle \sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|<\infty }$

und es gilt

${\displaystyle \operatorname {tr} A=\sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|}$

${\displaystyle \operatorname {det} (I+A)=\prod \limits _{j}(1+\lambda _{j}(A)),}$

wobei wir die Spur und die Fredholm-Determinante als Grenzwert definieren:

${\displaystyle \operatorname {tr} A:=\lim \limits _{n\to \infty }\operatorname {tr} (K_{n})}$

${\displaystyle \operatorname {det} (I+A):=\lim \limits _{n\to \infty }\det(I+K_{n})}$

mit ${\displaystyle \|K_{n}-A\|\to 0.}$

1. ↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik: Traces and Determinants of Linear Operators. In: Operator Theory Advances and Applications. Birkhäuser, Basel 1991, ISBN 978-3-7643-6177-8.