Grünwald-Letnikov-Ableitung

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In der Mathematik ist die Grünwald–Letnikov-Ableitung eine grundlegende Erweiterung der Ableitung in der fraktionalen Infinitesimalrechnung, die es ermöglicht, eine Ableitung nicht-ganzzahliger Ordnung zu berechnen. Sie wurde 1867 von Anton Karl Grünwald (1838–1920) und 1868 von Alexei Wassiljewitsch Letnikow (1837–1888) eingeführt.

Die Formel

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

für die Ableitung kann rekursiv angewendet werden, um Ableitungen höherer Ordnung zu erhalten. Die Ableitung zweiter Ordnung wäre zum Beispiel:

${\displaystyle {\begin{aligned}f''(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}\\&=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2})-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f(x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}\end{aligned}}}$

Unter der Annahme, dass die hs synchron konvergieren, vereinfacht sich dies zu:

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}}$

was sich durch den Mittelwertsatz begründen lässt. Allgemein gilt (siehe Binomialkoeffizient):

${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum \limits _{0\leq m\leq n}(-1)^{m}{n \choose m}f(x+(n-m)h)}{h^{n}}}}$

Durch Aufhebung der Einschränkung, dass n eine positive ganze Zahl ist, liegt es nahe

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(q-m)h).}$

zu definieren

Dies definiert die Grünwald-Letnikov-Ableitung.

Um Notation zu vereinfachen, setzen wir:

${\displaystyle \Delta _{h}^{q}f(x)=\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(q-m)h).}$

Dann kann die Grünwald-Letnikov-Ableitung als:

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q}}}.}$

geschrieben werden.

Im vorhergehenden Abschnitt wurde die allgemeine Formel für Ableitungen ganzzahliger Ordnung hergeleitet. Es lässt sich zeigen, dass die Gleichung auch geschrieben werden kann als:

${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(-1)^{n}}{h^{n}}}\sum _{0\leq m\leq n}(-1)^{m}{n \choose m}f(x+mh).}$

oder durch Aufhebung der Einschränkung, dass n eine positive ganze Zahl sein muss:

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(-1)^{q}}{h^{q}}}\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+mh).}$

Diese Gleichung ist die rückwärts gerichtete Grünwald-Letnikov-Ableitung. Unter der Substitution h → −h wird die entstehende Gleichung als direkte Grünwald-Leitnikov-Ableitung bezeichnet:^[1]

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x-mh).}$