Gelfond-Konstante

Bei der Gelfond-Konstanten handelt sich um die reelle Zahl

${\displaystyle {\rm {e}}^{\pi }={\mathrm {i} }^{\left(-2\mathrm {i} \right)}=\left(-1\right)^{\left(-\mathrm {i} \right)}=23{,}14069\,26327\,\dots }$^{[E 1][E 2][A 1]}

Sie ist nach dem russischen Mathematiker Alexander Ossipowitsch Gelfond benannt, der im Jahre 1929 als erster bewiesen hat, dass dies eine transzendente Zahl ist. Das Interesse an ihr beruht darauf, dass David Hilbert in dem berühmten Vortrag, den er im Jahre 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress von Paris über Mathematische Probleme hielt, ${\displaystyle e^{\pi }}$ (neben ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$) in der Darlegung des siebten Problems explizit als vermutlich transzendent erwähnt.^{[1][2][A 2]}

Von diesen Darstellungen existieren mehrere.

Aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion ergibt sich eine Verbindung der Gelfond-Konstanten mit den Volumina der Einheitskugeln in den euklidischen Räumen geradzahliger Dimension, also in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}\,(n=0,1,2,3,\ldots )}$.

Denn es ist ja

${\displaystyle {\rm {e}}^{\pi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi ^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}(1)}$^{[E 3]}

Diese Folgenkonvergenz geht aus einer Folge hervor, welche durch rekursive Definition gewonnen wird:

(a) ${\displaystyle x_{0}:={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

(b) ${\displaystyle x_{n+1}:={\frac {1-{\sqrt {1-x_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-x_{n}^{2}}}}}\;\;(n=1,2,3,\,\dots )}$

Damit hat man:^[3]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left({\frac {4}{x_{n+1}}}\right)^{\frac {1}{2^{n}}}}\,=\,{\rm {e}}^{\pi }}$.

Die Darstellung der Gelfond-Konstanten als regulärer Kettenbruch^{[E 4]} beginnt mit

${\displaystyle {\rm {e}}^{\pi }=23+{\frac {1}{7+{\frac {1}{9+{\frac {1}{3+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{591+\ddots }}}}}}}}}}}}}$.^{[A 3]}

Bei der Untersuchung der Eigenschaften der Gelfond-Konstanten gelangt man auch zu der Frage, was man über reelle Zahlen sagen kann, die als ähnlich gebildete Potenzen aus eulerscher Zahl und Kreiszahl hervorgehen.

Bildet man hier (etwa) für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n>0}$ die (nach dem Satz von Gelfond-Schneider) transzendente Zahl

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}={\mathrm {i} }^{\left(-2\mathrm {i} {\sqrt {n}}\right)}}$

Interessant ist der Umstand, dass man für ${\displaystyle n=6,17,18,22,25,37,43,58,59,67,163}$ reelle Zahlen gewinnt, die fast ganzzahlig^{[E 5]} sind.

Dies sind:^[4]

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {6}}}=2.197{,}990\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {17}}}=422.150{,}997\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {18}}}=614.551{,}992\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {22}}}=2.508.951{,}998\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {25}}}=e^{5\pi }=6.635.623{,}9993\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {37}}}=199.148.647{,}99997\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {43}}}=884.736.743{,}9997\ldots }$^{[A 4]}

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {58}}}=24.591.257.751{,}9999998\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {59}}}=30.197.683.486{,}993\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {67}}}=147.197.952.743{,}999998\ldots }$^{[A 5]}

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262.537.412.640.768.743{,}9999999999992\ldots }$^{[A 6][A 7]}

Zu diesen Fast-Ganzzahlen zählt man auch die reelle Zahl

${\displaystyle {{\rm {e}}^{\pi }}-\pi =19{,}9990\ldots }$^{[A 8][A 9]},

bei der es unklar scheint, ob es sich um eine algebraische oder um eine transzendente Zahl handelt.

Die Frage der Transzendenz steht ebenfalls bei mehreren der Gelfond-Konstanten ähnelnden Potenzen offen im Raum. Dazu gehören beispielsweise die folgenden:^[5]

${\displaystyle \pi ^{\rm {e}}=22{,}4591577183\ldots }$^{[A 10]}

${\displaystyle \pi ^{\pi }=36{,}462159\ldots }$^{[A 11]}

${\displaystyle {\rm {e}}^{\rm {e}}=15{,}1542622414\ldots }$^{[A 12]}

${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {e}}^{2}}=1.618{,}1779919126\ldots }$^{[A 13]}

• Jonathan Borwein, Peter Borwein: Pi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Reprint of the 1987 original (= Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts). 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York 1998, ISBN 0-471-31515-X, S. 347 ff. 
• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie (= Springer-Lehrbuch). 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1992, ISBN 3-540-55178-6, S. 270 ff. 
• T. Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 81). Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1957. 
• Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Eine etwas andere Einführung in die Mathematik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58325-8, S. 225 ff., 397 ff., doi:10.1007/978-3-662-58326-5. 

• Gelfond-Schneider-Konstante
• Transzendente Zahl

• Eintrag Gelfond's Constant bei MathWorld
• Eintrag Gelfond-Schneider Constant bei MathWorld
• Eintrag Almost Integer bei MathWorld

1. ↑ Jonathan Borwein, Peter Borwein: Pi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Reprint of the 1987 original (= Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts). 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York 1998, ISBN 0-471-31515-X, S. 349. 
2. ↑ Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie (= Springer-Lehrbuch). 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1992, ISBN 3-540-55178-6, S. 271. 
3. ↑ Jonathan Borwein, David Harold Bailey: Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. A.K.Peters, Wellesley (Massachusetts) 2003, S. 137. 
4. ↑ Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 26. 
5. ↑ Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Eine etwas andere Einführung in die Mathematik. 2. Auflage. Springer, Berlin 201, ISBN 978-3-662-58325-8, S. 426, doi:10.1007/978-3-662-58326-5. 

1. ↑ Mit ${\displaystyle {\mathrm {i} }}$ wird die imaginäre Einheit bezeichnet.
2. ↑ Bei der Potenzrechnung wird der Hauptwert des komplexen Logarithmus zu Grunde gelegt.
3. ↑ Man beachte, dass hier ${\displaystyle V_{n}(1)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}$ gilt, wobei ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion ist.
4. ↑ Hier sind alle Teilzähler gleich 1. Da ${\displaystyle e^{\pi }}$ notwendigerweise irrational ist, ist diese Darstellung unendlich.
5. ↑ In der englischsprachigen Wikipedia bezeichnet man eine solche Fast-Ganzzahl als almost integer oder near-integer. Eine exakte Definition wird dort jedoch nicht geliefert, sondern lediglich eine Umschreibung. Danach zeichnet sich eine Fast-Ganzzahl dadurch aus, dass sie sehr nahe (englisch very close) bei einer ganzen Zahl liegt.

1. ↑ Hinsichtlich der exakten Dezimaldarstellung siehe Folge A039661 in OEIS.
2. ↑ Hilbert erwähnte in dem Vortrag auch, dass er einen Beweis für äußerst schwierig halte. In der Tat war der Beweis Gelfonds von 1929 nur ein erster Schritt zur Lösung des gesamten Problems. Im Jahre 1930 konnte Rodion Ossijewitsch Kusmin (unter anderem) zeigen, dass auch ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ transzendent ist. Dann aber lag schon im Jahr 1934 mit dem Satz von Gelfond-Schneider die vollständige Lösung des siebten Hilbert'schen Problems vor.
3. ↑ Wegen der Teilnenner im Einzelnen siehe Folge A058287 in OEIS.
4. ↑ Siehe Folge A154841 in OEIS.
5. ↑ Siehe Folge A093436 in OEIS.
6. ↑ Diese Zahl ist auch als Ramanujan-Konstante (Ramanujan's constant) bekannt. Siehe Folge A060295 in OEIS.
7. ↑ Bemerkenswert ist überdies, dass unter diesen natürlichen Zahlen auch die drei größten Heegner-Zahlen 43, 67 und 163 auftreten!
8. ↑ Siehe Folge A018938 in OEIS.
9. ↑ Für deren Darstellung als regulärer Kettenbruch siehe Folge A018939 in OEIS.
10. ↑ Siehe Folge A059850 in OEIS.
11. ↑ Siehe Folge A073233 in OEIS.
12. ↑ Siehe Folge A073226 in OEIS.
13. ↑ Siehe Folge A073228 in OEIS.