Gauß-Abbildung

In der Differentialgeometrie bildet die Gauß-Abbildung (benannt nach Carl F. Gauß) eine Fläche im euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ auf die Einheitssphäre ${\displaystyle S^{2}}$ ab.

Gauß schrieb erstmals im Jahr 1825 über das Thema und veröffentlichte es 1827.

Auf einer gegebenen orientierten Fläche ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ist die Gauß-Abbildung eine stetige Abbildung ${\displaystyle N\colon X\to S^{2}}$, so dass ${\displaystyle N(p)}$ ein zur Fläche ${\displaystyle X}$ orthonormaler Einheitsvektor bei ${\displaystyle p\in X}$, nämlich der Normalenvektor an ${\displaystyle X}$ bei ${\displaystyle p}$, ist.

Die Gauß-Abbildung kann global, also für alle ${\displaystyle p\in X}$, nur genau dann definiert werden, wenn die Fläche orientierbar ist. Lokal, das heißt auf einem kleinen Stück der Oberfläche, kann sie immer definiert werden. Die Funktionaldeterminante der Gauß-Abbildung ist gleich der Gauß-Krümmung, und das Differential der Gauß-Abbildung wird Weingartenabbildung oder auch Form-Operator genannt.

Analog zu obiger Definition kann die Gauß-Abbildung für n-dimensionale orientierte Hyperflächen im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ definiert werden.

In der Geodäsie, Vermessung und Kartografie spielt die Gauß-Abbildung eine wichtige Rolle beim Rechnen mit geographischen Längen und Breiten in geographischen Koordinaten:

Als Referenzfigur für die Ortsangabe auf der Erde (oder anderen Planeten) dient ein Referenzellipsoid wie zum Beispiel WGS84 oder GRS80. Geographische Länge und Breite sind nicht etwa zentrische Winkel wie bei Kugelkoordinaten, sondern geben die Richtungsstellung des äußeren Normalvektors an das Referenzellipsoid an. Dadurch wird eine Abbildung vom Referenzellipsoid auf die 2-dimensionale Sphäre mittels gleicher äußerer Normalen definiert: Das ist genau die Gauß-Abbildung, angegeben in geographischen Längen- und Breitengraden.

• Eric W. Weisstein: Gauss Map. In: MathWorld (englisch).

• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8, S. 129.