Goldston-Pintz-Yıldırım-Sieb

Das Goldston-Pintz-Yıldırım-Sieb (auch GPY-Sieb oder GPY-Methode) ist eine Sieb-Methode und Variante des Selberg-Siebs mit verallgemeinerten, mehrdimensionalen Sieb-Gewichten. Das Sieb führte zu einer Reihe von wichtigen Durchbrüchen in der analytischen Zahlentheorie.

2005 wurde das Sieb von Dan Goldston, János Pintz und Cem Yıldırım publiziert.^[1] Diese benützten es, um zu zeigen, dass es unendlich viele Primzahltupel gibt, deren Abstände (die Primzahllücke) beliebig kleiner sind, als der Durchschnittsabstand, der aus dem Primzahlsatz folgt.

Seien ${\displaystyle p_{n},p_{n+1}}$ die Primzahlen an den Stellen ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle n+1}$. Goldston, Pintz und Yıldırım benützten das Sieb, um

${\displaystyle \liminf \limits _{n\to \infty }\,{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=0}$

zu beweisen. 2013 benützte Yitang Zhang eine modifizierte Variante des GPY-Siebs und bewies damit^[2]

${\displaystyle \liminf \limits _{n\to \infty }\,(p_{n+1}-p_{n})<70.000.000}$.

Das GPY-Sieb wurde danach von anderen Mathematikern weiter modifiziert, darunter James Maynard^[3], der die Grenze auf ${\displaystyle 600}$ drückte, sowie von Terence Tao.

Wir fixieren ein ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$.

Sei

• ${\displaystyle \mathbb {P} }$ die Menge der Primzahlen und ${\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)}$ die charakteristische Funktion der Primzahlen,
• ${\displaystyle \Lambda (n)}$ die Mangoldt-Funktion,
• ${\displaystyle \omega (n)}$ die prime Omega-funktion, welche die eindeutigen Primfaktoren zählt, d. h. falls ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$, dann ist ${\displaystyle \omega (n)=k}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}}$ eine Menge von verschiedenen nichtnegativen ganzen Zahlen ${\displaystyle h_{i}\in \mathbb {Z} _{+}\cup \{0\}}$.
• ${\displaystyle \theta (n)}$ ist folgende charakteristische Funktionen der Primzahlen

${\displaystyle \theta (n)={\begin{cases}\log(n)&{\text{falls }}n\in \mathbb {P} \\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$

Es gilt ${\displaystyle \theta (n)=\log((n-1)1_{\mathbb {P} }(n)+1)}$.

Für ein ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ definieren wir noch

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1},\dots ,n+h_{k})}$
• ${\displaystyle P_{\mathcal {H}}(n)=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k}).}$

Falls alle ${\displaystyle n+h_{i}}$ Primzahlen sind, dann nennen wir ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}$ ein Primzahl-${\displaystyle k}$-Tupel und es gilt ${\displaystyle \omega (P_{\mathcal {H}}(n))=k}$.

Für ein ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}}$ ist ${\displaystyle \nu _{p}({\mathcal {H}})}$ die Anzahl eindeutiger Restklassen modulo ${\displaystyle p}$.

Beispiel:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{0,2,5\},\quad p=3,\quad {\mathcal {H}}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,1,1\}\quad \nu _{3}({\mathcal {H}})=2}$

Wir nennen ein ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ zulässig (englisch admissible), falls ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ keine vollständige Menge von Resten bezüglich aller Primzahlen ${\displaystyle p}$ bildet, das heißt

${\displaystyle \nu _{p}({\mathcal {H}})<p,\quad \forall p\in \mathbb {P} .}$

Um das zu überprüfen, genügt es nur die Primzahlen bis ${\displaystyle k}$ zu überprüfen.

Beispiele für nicht zulässig:

${\displaystyle \{0,2,4\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,1,2\}}$ ergibt ${\displaystyle 3}$ Restklassen und ${\displaystyle \{0,2,6,8,12,14\}{\stackrel {\pmod {5}}{=}}\{0,2,1,3,2,4\}}$ ergibt ${\displaystyle 5}$ Restklassen.

Beispiele für zulässig:

${\displaystyle \{0,2\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,2\}}$ ergibt ${\displaystyle 2}$ Restklassen, ${\displaystyle \{0,2,6\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,2,0\}}$ ergibt ${\displaystyle 2}$ Restklassen und ${\displaystyle \{0,2,6\}{\stackrel {\pmod {5}}{=}}\{0,2,1\}}$ ergibt ${\displaystyle 3}$ Restklassen.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}}$ zulässig und betrachte die Siebfunktion

${\displaystyle {\mathcal {S}}(N,c;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}1_{\mathbb {P} }(n+h_{i})-c\right)w(n)^{2},\quad w(n)\in \mathbb {R} ,\quad c>0,}$

wobei ${\displaystyle w(n)^{2}}$ eine Gewichtsfunktion ist, welche immer positiv ist. Die Siebfunktion zählt für jedes ${\displaystyle n\in [N+1,2N]}$ alle Primzahlen der Form ${\displaystyle n+h_{i}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}$ abzüglich eines Schwellenwertes ${\displaystyle c}$. Das heißt, wenn ${\displaystyle {\mathcal {S}}>0}$, dann existieren manche ${\displaystyle n}$, so dass mindestens ${\displaystyle \lfloor c\rfloor +1}$ Primzahlen in ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}$ existieren.

Da ${\displaystyle 1_{P}(n)}$ keine guten analytischen Eigenschaften hat, verwenden wir stattdessen folgende Siebfunktion

${\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)w(n)^{2}.}$

Da ${\displaystyle \log(N)<\theta (n+h_{i})<\log(2N)}$ und ${\displaystyle c=\log(3n)}$ ist, ist ${\displaystyle {\mathcal {S}}>0}$ nur dann, wenn wir mindestens für ein ${\displaystyle n}$ zwei Primzahlen ${\displaystyle n+h_{i}}$ und ${\displaystyle n+h_{j}}$ finden.

Das Ziel ist es nun, dass wir Primzahl-${\displaystyle k}$-Tupel

${\displaystyle {\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1},\dots ,n+h_{k})}$

erkennen, dies geschieht durch die Wahl einer passenden Gewichtsfunktion ${\displaystyle w(n)}$.

Wenn ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}$ ein Primzahl-${\displaystyle k}$-Tupel ist, dann besteht

${\displaystyle P_{\mathcal {H}}(n)=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k})}$

aus exakt ${\displaystyle k}$ Primfaktoren. Wir wählen nun die verallgemeinerte Mangoldt-Funktion

${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\left(\log \left({\frac {n}{d}}\right)\right)^{k},}$

denn diese hat die Eigenschaft, dass wenn ${\displaystyle n}$ aus mehr als ${\displaystyle k}$ eindeutigen Primfaktoren besteht (d. h. ${\displaystyle \omega (n)>k}$), dann gilt ${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=0}$. Die Funktion erkennt zwar auch Primzahlpotenzen, aber der Fehler ist gering und kann vernachlässigt werden.^[4]

Wenn nun ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}$ ein Primzahl-${\displaystyle k}$-Tupel ist, dann wird die Funktion

${\displaystyle \Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\Lambda _{k}(P_{\mathcal {H}}(n))}$

nicht verschwinden. Der Normalisierungsfaktor ${\displaystyle 1/k!}$ ist nur aus rechnerischen Gründen dort.

Für ${\displaystyle k=1}$ lässt sich die Mangoldt-Funktion durch die abgeschnittene Mangoldt-Funktion ${\displaystyle \Lambda _{R}(n)}$ approximieren

${\displaystyle \Lambda (n)\approx \Lambda _{R}(n):=\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid n\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\log \left({\frac {R}{d}}\right),}$

wobei das ${\displaystyle R}$ hier nicht mehr für die Tupellänge steht, welche immer noch ${\displaystyle k}$ ist. Dasselbe machen wir mit der verallgemeinerten Mangoldt-Funktion resp. ${\displaystyle \Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})}$. Wir führen folgende Approximation ein

${\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k}}$

Die entscheidende Idee ist nun, statt nur Primtupel lieber Tupel mit Primzahlen in mehreren Komponenten zu approximieren und einen zusätzlichen Parameter ${\displaystyle 0\leq \ell \leq k}$ einzuführen

${\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell }.}$

Die Gewichtsfunktion schaut somit ob ${\displaystyle k+\ell }$ oder weniger eindeutige Primfaktoren in ${\displaystyle P_{\mathcal {H}}(n)=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k})}$ enthalten sind, das bedeutet ${\displaystyle \omega (P_{\mathcal {H}}(n))\leq k+\ell }$. Der technische Grund hierfür ist, dass wir mit dem ${\displaystyle \ell }$ Parameter für ein eindeutiges ${\displaystyle d=d_{1}d_{2}\cdots d_{k}}$ die Restriktion ${\displaystyle d=d_{1}d_{2}\cdots d_{k}\leq R}$ erhalten und ohne diesen Parameter die Restriktion ${\displaystyle d_{1}\leq R,d_{2}\leq R,\dots ,d_{k}\leq R}$.^[5] Durch den ${\displaystyle k+\ell }$ Exponent wird das Ganze zur Anwendung eines ${\displaystyle k+\ell }$-dimensionalen Siebs auf ein ${\displaystyle k}$-dimensionales Siebproblem.^[6]

Das vollständige GPY-Sieb ist von folgender Form^[7]

${\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}},\ell ):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )^{2},\quad |{\mathcal {H}}|=k}$

mit

${\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell },\quad 0\leq \ell \leq k}$.^[8]

Betrachte die zwei Tupel ${\displaystyle ({\mathcal {H}}_{1},\ell _{1},k_{1})}$ und ${\displaystyle ({\mathcal {H}}_{2},\ell _{2},k_{2})}$ und sei ${\displaystyle 1\leq h_{0}\leq R}$ und ${\displaystyle M:=k_{1}+k_{2}+\ell _{1}+\ell _{2}}$. Goldston, Pintz und Yıldırım bewiesen dann unter bestimmten Voraussetzungen zwei asymptotische Abschätzungen der Form

${\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})=C_{1}N\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})+o_{M}(1)\right)}$

und

${\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})\theta (n+h_{0})=C_{2}N\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})+o_{M}(1)\right),}$

wobei ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ zwei Konstanten sind, ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})}$ und ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})}$ sind zwei singulare Reihen, auf deren Beschreibung wir hier verzichten. Wählt man ${\displaystyle ({\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})=({\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})}$, dann erhält man den gewünschten Faktor ${\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})^{2}}$ in den Abschätzungen.

Beide Abschätzungen werden dann auf ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ angewendet um das eigentliche Theorem von Goldston, Pintz und Yıldırım herzuleiten.^[8]

• Daniel A. Goldston, János Pintz und Cem Y. Yildirim: Primes in Tuples I. In: Annals of Mathematics. Band 170, Nr. 2, 2009, S. 819–862, doi:10.4007/annals.2009.170.819. 
• James Maynard: Small gaps between primes. In: Annals of Mathematics. Band 181, Nr. 1, 2015, S. 383–413, doi:10.4007/annals.2015.181.1.7, arxiv:1311.4600 [abs]. 

1. ↑ Daniel A. Goldston, János Pintz und Cem Y. Yildirim: Primes in Tuples I. In: Annals of Mathematics. Band 170, Nr. 2, 2009, S. 819–862, doi:10.4007/annals.2009.170.819. 
2. ↑ Yitang Zhang: Bounded gaps between primes. In: Annals of Mathematics. Band 179, 2014, S. 1121–1174, doi:10.4007/annals.2014.179.3.7. 
3. ↑ James Maynard: Small gaps between primes. Band 181, Nr. 1, 2015, S. 383–413, doi:10.4007/annals.2015.181.1.7. 
4. ↑ Daniel A. Goldston, János Pintz und Cem Y. Yildirim: Primes in Tuples I. In: Annals of Mathematics. Band 170, Nr. 2, 2009, S. 826, doi:10.4007/annals.2009.170.819 (Siehe Fußzeile). 
5. ↑ Daniel A. Goldston, János Pintz und Cem Y. Yildirim: Primes in Tuples I. In: Annals of Mathematics. Band 170, Nr. 2, 2009, S. 827, doi:10.4007/annals.2009.170.819. 
6. ↑ D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz und C. Y. Yildirim: Small gaps between primes or almost primes. 2005, S. 7, arxiv:math/0506067. 
7. ↑ Daniel A. Goldston, János Pintz und Cem Y. Yildirim: Primes in Tuples I. In: Annals of Mathematics. Band 170, Nr. 2, 2009, S. 828, doi:10.4007/annals.2009.170.819. 
8. ↑ ^{a b} Daniel A. Goldston, János Pintz und Cem Y. Yildirim: Primes in Tuples I. In: Annals of Mathematics. Band 170, Nr. 2, 2009, S. 827–829, doi:10.4007/annals.2009.170.819.