Feuerbach-Hyperbel

Bei einem nicht gleichschenkligen Dreieck ${\displaystyle \triangle ABC}$ liegen eine Reihe wichtiger Punkte auf einer Hyperbel, darunter der Höhenschnittpunkt ${\displaystyle H}$, der Gergonne-Punkt ${\displaystyle G}$, der Inkreismittelpunkt ${\displaystyle I}$, der Schiffler-Punkt ${\displaystyle Sc}$, der Mittenpunkt ${\displaystyle M}$ und der Nagel-Punkt ${\displaystyle N}$.^[1] Der Ast der Hyperbel, der durch diese Punkte läuft, führt durch zwei der drei Eckpunkte. Die Euler-Gerade des Dreiecks (${\displaystyle Euler}$) schneidet diesen Hyperbelast in ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle Sc}$. Die Euler-Gerade (${\displaystyle Euler_{I}}$) des Exzenter-Dreiecks (Dreieck der Ankreismittelpunkte) ${\displaystyle \triangle A_{I}B_{I}C_{I}}$ berührt diesen Ast in ${\displaystyle I}$. Der zweite Ast der Hyperbel führt durch den dritten Eckpunkt.

Es handelt sich um eine gleichseitige Hyperbel, die Asymptoten stehen also senkrecht aufeinander.

Ihren Namen verdankt die Feuerbach-Hyperbel ihrem Zentrum, dem Feuerbach-Punkt ${\displaystyle Q}$.

Die Gleichung der Feuerbach-Hyperbel in trilinearen Koordinaten ist

${\displaystyle (\cos \beta -\cos \gamma )yz+(\cos \gamma -\cos \alpha )zx+(\cos \alpha -\cos \beta )xy=0}$.

Der Umkreis des Fußpunktdreiecks eines jeden Punktes auf der Hyperbel läuft durch den Feuerbach-Punkt.^[2] Speziell: ${\displaystyle H}$ – Feuerbachkreis, ${\displaystyle I}$ – Inkreis.

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1. ↑ Eric W. Weisstein: Feuerbach Hyperbola. Abgerufen am 9. März 2025 (englisch). 
2. ↑ H. Martin Cundy: The Pedal Circle and the Rectangular Hyperbola in The Mathematical Gazette, Vol 46, No 346 (Dec. 1959)