Fakultät (Mathematik)

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik diejenige Funktion, die jeder natürlichen Zahl das Produkt aller positiven natürlichen Zahlen zuordnet, die diese Zahl nicht übertreffen. Sie wird durch ein dem Funktionsargument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Ihre Notation mit dem Ausrufezeichen wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826) verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung faculté (französisch „Fähigkeit“) dafür einführte.^[1]

Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ ist die Fakultät von n definiert als das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis ${\displaystyle n}$:^[2]

${\displaystyle n!:=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\dotsm n}$

Da das leere Produkt stets gleich 1 ist, gilt

${\displaystyle 0!=1}$.

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:^[3]

${\displaystyle n!={\begin{cases}1,&n=0,\\n\cdot (n-1)!,&n>0.\end{cases}}}$

Die Werte der Fakultäten bilden die Folge A000142 in OEIS.

Die ersten fünf Fakultätswerte lauten

${\displaystyle {\begin{array}{rll}0!&=1&=1,\\1!&=1&=1,\\2!&=1\cdot 2&=2,\\3!&=1\cdot 2\cdot 3&=6,\\4!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4&=24.\\\end{array}}}$

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil ${\displaystyle n!}$ die Anzahl der Möglichkeiten ist, ${\displaystyle n}$ unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle n}$-elementige Menge ist, so ist ${\displaystyle n!}$ auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen ${\displaystyle X\to X}$, also die Anzahl der Permutationen von ${\displaystyle X}$. Dies gilt insbesondere auch für den Fall ${\displaystyle n=0}$, da es genau eine Möglichkeit gibt, die leere Menge auf sich selbst abzubilden.

Beispielsweise gibt es bei einem Autorennen mit sechs Fahrern ${\displaystyle 6!}$ verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge beim Zieleinlauf, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen. Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher ${\displaystyle 6\cdot 5=30}$ Möglichkeiten. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer ${\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4=120}$ Belegungsmöglichkeiten ergeben usw. Letztlich gibt es also

${\displaystyle 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720}$

verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$.

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge eine ${\displaystyle k}$-elementige Teilmenge auszuwählen.

Zum Beispiel gibt es beim Zahlenlotto 6 aus 49 insgesamt 13.983.816 mögliche Ziehungen:

${\displaystyle {49 \choose 6}={\frac {49!}{6!\,(49-6)!}}=13{.}983{.}816}$.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, bei dem Lottospiel 6 aus 49 zu gewinnen, nur 1/13.983.816 und somit weniger als ein Zehnmillionstel beträgt.

Das Bilden von höheren Ableitungen einer Potenzfunktion ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ führt auf Fakultäten: Wiederholtes Anwenden der Potenzregel liefert

${\displaystyle {\begin{aligned}(x^{n})'&=nx^{n-1}\\(x^{n})''&=n(n-1)x^{n-2}\\&\vdots \\(x^{n})^{(k)}&=n(n-1)\cdots (n-k+1)x^{n-k}\quad (k\leq n)\end{aligned}}}$

Durch Erweitern mit ${\displaystyle (n-k)!}$ erhält man für die ${\displaystyle k}$-te Ableitung von ${\displaystyle x^{n}\ (k\leq n)}$ die Formel

${\displaystyle (x^{n})^{(k)}={\frac {n!}{(n-k)!}}x^{n-k}}$,

die den Spezialfall ${\displaystyle (x^{n})^{(n)}=n!}$ enthält.

Eine prominente Gleichung, in welcher die Fakultäten vorkommen, ist die Formel für die Taylorreihe einer glatten Funktion ${\displaystyle f}$ mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle Tf(x;a):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}={\frac {f(a)}{0!}}+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\dotsb }$

Die Exponentialfunktion hat die einfachste aller Taylorreihen mit Fakultäten in Abhängigkeit vom Index im Nenner des Summanden:

${\displaystyle \exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dotsb }$

Insbesondere ist die Eulersche Zahl ${\displaystyle \mathrm {e} }$ die Summe der Kehrwerte der Fakultäten

${\displaystyle \mathrm {e} =\exp(1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dotsb }$

und ihr Kehrwert die alternierende Summe desselben Musters:

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {e} }}={\frac {1}{\exp(1)}}=\exp(-1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}={\frac {1}{0!}}-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}\pm \dotsb }$

Der numerische Wert für ${\displaystyle n!}$ kann gut rekursiv oder iterativ berechnet werden, falls ${\displaystyle n}$ nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist ${\displaystyle 69!\approx 1{,}7\cdot 10^{98},}$ da ${\displaystyle 70!\approx 1{,}2\cdot 10^{100}}$ außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt. Die größte als Gleitkommazahl im Format double precision des IEEE-754-Standards darstellbare Fakultät ist ${\displaystyle 170!\approx 7{,}3\cdot 10^{306}}$.

Mit Bibliotheken für sehr große Ganzzahlen (keine Limitierung auf 32, 64 oder z. B. 512 Bit) benötigt zum Beispiel ein Chip des Typs AMD Ryzen 3900X @4GHz für die Berechnung von 10.000! mit 64-bit-Code 2,22 ms und mit 32-bit-Code 9,26 ms.^[4]

Die Dezimaldarstellung der Zahl beginnt mit 284625968, hat insgesamt 35660 Stellen, wobei die letzten 2499 Stellen nur aus der Ziffer 0 bestehen.

# Syntax: Python 3.7
n = int(input('Fakultät von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f *= i
print(f'{n}! = {f}')

Unter Nutzung von Endrekursion sieht das Programm so aus:

def fak(n: int) -> int:
    return 1 if n <= 1 else n * fak(n - 1)

Für große ${\displaystyle n}$ liefert die Stirling-Formel eine gute Näherung für ${\displaystyle n!}$:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\cdot \left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}$

Dabei bedeutet ${\displaystyle \sim }$, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für ${\displaystyle n\to \infty }$ gegen ${\displaystyle 1}$ konvergiert.

Viele Programmiersprachen haben die Funktion

${\displaystyle \ln \left|\Gamma (n)\right|}$

Die Namen sind

lgamma → C/C++/Python/R

gammaln → MATLAB/Octave/SciPy/Excel

loggamma → Julia

LogGamma → Mathematica

Gamma.logGamma → Java

Damit kann die Fakultät sehr großer Zahlen (dann mit fallender Genauigkeit der Mantisse) berechnen.

Beispiel

${\displaystyle \lg \,10^{9}!\approx {\frac {\operatorname {lgamma} (10^{9}+1)}{\ln 10}}\approx 8\,565\,705\,522{,}\color {blue}995837}$

Ganzzahlanteil (ergibt den Exponenten) und Rest (ergibt den Logarithmus der Mantisse) voneinander trennen:

${\displaystyle 10^{9}!\approx 10^{\color {blue}0{,}995837}\cdot 10^{8\,565\,705\,522}\approx {\color {blue}9{,}9046}\cdot 10^{8\,565\,705\,522}}$

Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:

Die Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma (z)}$ verallgemeinert die Fakultät und ist eine stetige Fortsetzung ihres Definitionsbereichs von den natürlichen hin zu den komplexen Zahlen:^[5]

${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}$ für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \Re {(z)}>0}$

${\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{(-\log {t})^{z-1}\mathrm {d} t}}$

Für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z_{\leq 0}} }$ kann die Gammafunktion folgendermaßen erweitert werden:^[6]

${\displaystyle \Gamma (z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!(n+z)}}+\int _{1}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\mathrm {d} t}$

Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen ${\displaystyle (n)_{k}}$ und ${\displaystyle (n)^{k}}$ dar, denn ${\displaystyle (n)_{n}=(1)^{n}=n!}$.

Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:

${\displaystyle n_{\#}=\prod _{\scriptstyle p\,=\,2 \atop \scriptstyle p\,\in \,\mathbb {P} }^{n}p\quad }$

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät

${\displaystyle !n=n!\cdot \sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}$

bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von ${\displaystyle n}$ Elementen.

Die seltener verwendete Doppelfakultät oder doppelte Fakultät ist für gerade ${\displaystyle n}$ das Produkt aller geraden Zahlen kleiner gleich ${\displaystyle n}$. Für ungerade ${\displaystyle n}$ ist es das Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner gleich ${\displaystyle n}$:^[7]

${\displaystyle n!!={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\dotsm 2&{\text{für }}n{\text{ gerade und }}n>0,\\n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\dotsm 1&{\text{für }}n{\text{ ungerade und }}n>0,\\1&{\text{für }}n\in \{-1,0\}\end{cases}}}$

Oft werden anstelle der Doppelfakultät Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet. Es gilt:

${\displaystyle (2k)!!=2^{k}k!}$

${\displaystyle (2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}}$

Werden nicht-ganzzahlige Funktionswerte zugelassen, dann gibt es genau eine Erweiterung auf negative ungerade Zahlen, sodass ${\displaystyle n!!=n\cdot (n-2)!!}$ für alle ungeraden ganzen Zahlen ${\displaystyle n}$ gilt. Man erhält die Formel ${\displaystyle n!!={\tfrac {1}{n+2}}\cdot {\tfrac {1}{n+4}}\dotsm {\tfrac {1}{1}}}$ für ungerade ${\displaystyle n<0}$.

Die Werte der Doppelfakultäten bilden die Folge A006882 in OEIS.

• ${\displaystyle 6!!=6\cdot 4\cdot 2=48}$
• ${\displaystyle 7!!=7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=105}$

• Die Anzahl ${\displaystyle P_{2n}}$ der ${\displaystyle n}$-stelligen Kombinationen aus elementfremden Paaren gebildet aus ${\displaystyle 2n}$ Elementen wird gegeben durch die Rekursion ${\displaystyle P_{2n}=(2n-1)P_{2n-2}}$ mit Rekursionsanfang ${\displaystyle P_{2}=1}$ (2 Elemente!). Auflösung der Rekursion ergibt ${\displaystyle P_{2n}=(2n-1)!!}$. Sollen z. B. ${\displaystyle 2n}$ Mannschaften durch Verlosung paarweise aufeinandertreffen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei zwei bestimmte gegeneinander spielen, gegeben durch ${\displaystyle {\frac {P_{2n-2}}{P_{2n}}}={\frac {1}{2n-1}}}$.
• Die Anzahl der Elemente der Hyperoktaedergruppe ${\displaystyle B_{n}}$ ist ${\displaystyle (2n-1)!!}$.
• Die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von ${\displaystyle 2n}$ Elementen ist ${\displaystyle (2n)!!}$.
• Das ${\displaystyle 2n}$-te Moment der Standardnormalverteilung ist ${\displaystyle (2n-1)!!}$.
• Für natürliche ${\displaystyle n}$ gilt ${\displaystyle (2n-1)!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$.

Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache (${\displaystyle n!!!}$), vierfache (${\displaystyle n!!!!}$), …, ${\displaystyle k}$-fache Fakultät (${\displaystyle n!^{(k)}}$) rekursiv definiert:^[8]

${\displaystyle n!^{(k)}:={\begin{cases}1&{\text{falls }}n=0,\\n&{\text{falls }}0<n\leq k,\\n(n-k)!^{(k)}&{\text{falls }}n>k\end{cases}}}$

• Smarandache-Funktion
• Superfakultät
• Hyperfakultät

Falls nicht die vollständige Zahl ${\displaystyle n!}$ gesucht ist, sondern nur der Exponent einer ihrer Primfaktoren, lässt sich dieser direkt und effizient ermitteln.

${\displaystyle v_{p}(n!)={\begin{cases}0&{\text{falls }}n<p\\\lfloor n/p\rfloor +v_{p}(\lfloor n/p\rfloor !)&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

Hier steht ${\displaystyle v_{p}(k)}$ für den Exponenten von ${\displaystyle p}$ in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle k}$.^[9]

Im obigen Beispiel wäre für die Anzahl der Nullen am Ende von 10.000! der Exponent der 5 zu bestimmen, der Exponent der 2 ist auf jeden Fall größer.

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{5}(10{.}000!)&=2000+v_{5}(2000!)\\&=2000+400+v_{5}(400!)\\&=2000+400+80+v_{5}(80!)\\&=2000+400+80+16+v_{5}(16!)\\&=2000+400+80+16+3+v_{5}(3!)\\&=2000+400+80+16+3+0\\&=2499\end{aligned}}}$

• Jacques Dutka: The Early History of the Factorial Function. Archive for History of Exact Sciences 43(3), 1991, S. 225–249.
• Leonhard Euler: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. (1749), in Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 17 (1761), 1768, S. 96/97 (französisch).
• Leonhard Euler: Evolutio formulae integralis ${\displaystyle \displaystyle \textstyle \int \!x^{f-1}\mathrm {d} x(lx)^{\frac {m}{n}}}$ integratione a valore x=0 ad x=1 extensa. 4. Juli 1771, in Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 16, 1772, S. 121 (lateinisch).
• Adrien-Marie Legendre: Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies. (13. November 1809), in Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 10, 1809, S. 485 (französisch).
• Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung. (Juli 1856), in: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, S. 122–138 (beim GDZ: digizeitschriften.de).
• J. W. L. Glaisher: On the Product 1¹.2².3³...nⁿ. In: The Messenger of Mathematics 7, 1878, S. 43–47 (englisch); Textarchiv – Internet Archive.

Wiktionary: Fakultät – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Fakultät – Lern- und Lehrmaterialien

• Peter Luschny: The Homepage of Factorial Algorithms. Effiziente Algorithmen und weitere Informationen (englisch).
• Eric W. Weisstein: Factorial. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Factorial. In: MacTutor History of Mathematics archive. Universität St. Andrews, abgerufen am 6. August 2024 (englisch). 
2. ↑ Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 13. 
3. ↑ Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage. Springer, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 77. 
4. ↑ Microsoft Visual Studio 2022, Quick-&-Dirty-Programm, C++, klassische Langzahl-Multiplikation unter Nutzung von umul128/emulu und addcarry_u64/u32, ohne weitere Optimierungen. Abschätzungen ergeben eine Laufzeit von 70...80 ms für einen Pentium 4/2.8 und 20...25 ms für einen AMD Athlon XP 2800+.
5. ↑ Leonhard Euler: De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt. (28. November 1729), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 5, 1738, S. 36–57 (lateinisch).
6. ↑ E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, ISBN 3-540-31764-3, S. 225. 
7. ↑ Eric W. Weisstein: Double Factorial. In: MathWorld (englisch).
8. ↑ Eric W. Weisstein: Multifactorial. In: MathWorld (englisch).
9. ↑ Donald Knuth: The Art of Computer Programming. 3. Auflage. Volume 1: Fundamental Algorithms. Addison-Wesley, 1997, ISBN 0-201-89683-4, S. 47–48 (englisch).