Evolution (Mathematik)

In der Mathematik definiert man die Evolution ${\displaystyle \Phi }$ einer Differentialgleichung ${\displaystyle x'(t)=f(t,x(t))}$ als eine zweiparametrige Abbildung, gegeben durch:

${\displaystyle \Phi ^{t,t_{0}}x_{0}:=x(t)}$

wobei

• ${\displaystyle x(t)}$ die Lösung des Anfangswertproblems ist, das aus der o. g. Dgl. und der Anfangsbedingung ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ besteht, und
• ${\displaystyle |t-t_{0}|}$ hinreichend klein sein soll.

In Worten: Die Evolution bildet den Wert ${\displaystyle x_{0}}$ einer beliebigen Lösungskurve ${\displaystyle x}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_{0}}$ ab auf den Wert ${\displaystyle x(t)}$ der Lösungskurve zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$. Sie beschreibt also die weitere Entwicklung der Lösung ausgehend vom Startpunkt ${\displaystyle x_{0}}$.

Die Evolution der Differentialgleichung hat folgende Eigenschaften:

• ${\displaystyle \Phi ^{t_{0},t_{0}}x_{0}=x_{0}}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\Phi ^{t+\tau ,t}x|_{\tau =0}=f(t,x(t))}$
• ${\displaystyle \Phi ^{t_{2},t_{1}}\Phi ^{t_{1},t}x_{0}=\Phi ^{t_{2},t}x_{0}}$ für ${\displaystyle t\leq t_{1}\leq t_{2}}$ (Transitivität).

Im Fall autonomer Differentialgleichungen ${\displaystyle x'=f(x)}$ ist die Startzeit ${\displaystyle t_{0}}$ beliebig. Man schreibt dann statt ${\displaystyle \Phi ^{t,t_{0}}}$ einfach ${\displaystyle \Phi ^{t}}$ und bezeichnet ${\displaystyle \Phi ^{t}}$ als Phasenfluss.