Duffin-Schaeffer-Vermutung

Die Duffin–Schaeffer-Vermutung wurde 1941 von R. J. Duffin und A. C. Schaeffer formuliert und 2019 von Dimitris Koukoulopoulos und James Maynard bewiesen. Sie ist damit auch ein Lehrsatz der analytischen Zahlentheorie.

Sei ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ eine beliebige Funktion, die positive Werte annimmt. Es gibt für Lebesgue-fast alle ${\displaystyle \alpha }$ unendlich viele rationale Zahlen ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ mit teilerfremden ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ und

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}}$,

genau dann, wenn

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }f(q){\frac {\varphi (q)}{q}}=\infty }$

mit der Eulerschen Phi-Funktion ${\displaystyle \varphi (q)}$ gilt. Die Schlussfolgerung oder Hinrichtung kann mit dem Lemma von Borel-Cantelli bewiesen werden. Die Rückrichtung wurde 2019 von Koukoulopoulos und Maynard bewiesen.

Für ${\displaystyle f(q)={\frac {1}{q}}}$ folgt aus dem Approximationssatz von Dirichlet, dass alle irrationale Zahlen ${\displaystyle \alpha }$ die gewünschte Eigenschaft haben. Der Satz von Chintschin gibt die Aussage der Duffin-Schaeffer-Vermutung für den Fall, dass ${\displaystyle (qf(q))_{q\in \mathbb {N} }}$ eine monoton fallende Folge und ${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }f(q)=\infty }$ ist.

• Duffin-Schaeffer: Khintchine's problem in metric diophantine approximation, Duke Math. J. 8, 243–255 (1941)
• Koukoulopoulos-Maynard: On the Duffin-Shaeffer conjecture, Ann. Math. 192, 251–307 (2020)

• Duffin-Schaeffer conjecture (Encyclopedia of Mathematics)