Dixmier-Vermutung

Die Dixmier-Vermutung ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra die Vermutung, dass jeder Endomorphismus einer Weyl-Algebra sogar ein Automorphismus ist. Benannt ist die Vermutung nach dem französischen Mathematiker Jacques Dixmier, der diese im Jahr 1968 aufstellte.^[1] Im Jahr 2005 zeigte Yoshifumi Tsuchimoto^[2] und im Jahr 2007 zeigten Alexei Belov-Kanel und Maxim Kontsevich unabhängig,^[3] dass die Dixmier-Vermutung stabil äquivalent zur Jacobi-Vermutung ist, also wenn zusätzlich Variablen und Dimensionen erhöht werden. Die Dixmier-Vermutung impliziert die Jacobi-Vermutung und die Jacobi-Vermutung für ${\displaystyle 2n}$ Variablen impliziert die Dixmier-Vermutung für ${\displaystyle n}$ Dimensionen. Gilt eine Vermutung für alle Anzahlen von Variablen oder Dimensionen, dann also auch die andere.

Die erste Weyl-Algebra ${\displaystyle A_{1}}$ ist eine Algebra über dem Körper ${\displaystyle K}$, die durch zwei Elemente ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle \partial }$ mit der Relation ${\displaystyle [\partial ,x]=\partial x-x\partial =1}$ erzeugt wird. Die Relation impliziert ${\displaystyle \partial x\neq x\partial }$ und macht die Weyl-Algebra zu einer nicht-kommutativen Algebra. Wenn die Charakteristik von ${\displaystyle K}$ Null ist, dann lässt sich ${\displaystyle A_{1}}$ auf dem Polynomring ${\displaystyle K[x]}$ mit den beiden Operationen "Multiplikation mit ${\displaystyle x}$" und "Ableitung ${\displaystyle \partial :={\frac {d}{dx}}}$ nach ${\displaystyle x}$" darstellen. Das heißt, ein ${\displaystyle a\in A_{1}}$ ist von der Form

${\displaystyle a=\sum _{i,j\geq 0}c_{ij}x^{i}\partial ^{j}\colon K[x]\rightarrow K[x]}$    mit Koeffizienten    ${\displaystyle c_{ij}\in K}$.

Sei nun ${\displaystyle \operatorname {char} (K)=0}$.

Die Dixmier-Vermutung für die erste Weyl-Algebra lautet nun, dass jeder Endomorphismus ${\displaystyle \varphi :A_{1}\to A_{1}}$ sogar ein Automorphismus ist, das heißt es existiert ${\displaystyle \varphi ^{-1}:A_{1}\to A_{1}}$ mit ${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{-1}=\varphi ^{-1}\circ \varphi =\operatorname {id} }$, wobei ${\displaystyle \operatorname {id} }$ die Identitätsabbildung ist.

Analog lässt sich die ${\displaystyle n}$-te Weyl-Algebra ${\displaystyle A_{n}}$ für ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ und ${\displaystyle \partial _{1},\dots ,\partial _{n}}$ mit den Relationen

${\displaystyle [\partial _{i},x_{j}]=\delta _{ij},\quad i,j=1,\dots ,n}$

wobei die Ableitungen untereinander kommutieren sowie die Variablen untereinander, das bedeutet

${\displaystyle [\partial _{i},\partial _{j}]=[x_{i},x_{j}]=0,\quad i,j=1,\dots ,n.}$

Die Dixmier-Vermutung lässt sich dann für die ${\displaystyle n}$-te Weyl-Algebra formulieren und sie impliziert automatisch auch die Fälle ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n-1}}$.

Die Dixmier-Vermutung für ${\displaystyle A_{\infty }}$ wird stabile Dixmier-Vermutung genannt und sie ist äquivalent zur Jacobi-Vermutung in unendlich vielen Variablen.^[4]

Dixmier veröffentlichte 1968 sechs grundlegende Fragestellungen zur Weyl-Algebra, wovon die erste die Dixmier-Vermutung für die erste Weyl-Algebra ${\displaystyle A_{1}}$ ist. Das dritte und sechste Problem wurden 1975 von Anthony Joseph gelöst und das fünfte Problem 2005 von Wladimir Bavula. Die restlichen drei Probleme (I, II und IV) sind weiterhin offen.^[5]

1. ↑ Jacques Dixmier: Sur les algèbres de Weyl. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Band 96, S. 209–242, doi:10.24033/bsmf.1667 (französisch, numdam.org). 
2. ↑ Tsuchimoto, Yoshifumi (2005), "Endomorphisms of Weyl algebra and p-curvatures", Osaka Journal of Mathematics, 42 (2): 435–452, ISSN 0030-6126
3. ↑ Belov-Kanel, Alexei; Kontsevich, Maxim (2007), "The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture", Moscow Mathematical Journal, 7 (2): 209–218, arXiv:math/0512171, Bibcode:2005math.....12171B, doi:10.17323/1609-4514-2007-7-2-209-218, MR 2337879, S2CID 15150838
4. ↑ Belov-Kanel, Alexei; Kontsevich, Maxim (2007), "The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture", Moscow Mathematical Journal, 7 (2): 209–218, arXiv:math/0512171, Bibcode:2005math.....12171B, doi:10.17323/1609-4514-2007-7-2-209-218, MR 2337879, S2CID 15150838
5. ↑ Vladimir V. Bavula: An analogue of the Conjecture of Dixmier is true for the algebra of polynomial integro-differential operators. In: Journal of Algebra. Band 372, 2012, S. 237–250, doi:10.1016/j.jalgebra.2012.09.009 (sciencedirect.com).