Choquet-Integral

Der französische Mathematiker Gustave Choquet ist der Schöpfer des nach ihm benannten Choquet-Integrals.^[1] Im Unterschied zum Lebesgue-Integral, das die Integration auf beliebigen Maßräumen definiert, werden für das Choquet-Integral keine Maße, sondern lediglich Kapazitäten benutzt. Choquet-Integrale benötigt man z. B. in der Entscheidungstheorie, der kooperativen Spieltheorie, der Nutzenstheorie, der Datenverarbeitung (zur Konstruktion von Aggregationsfunktionen).

Sei ${\displaystyle U}$ die Grundmenge, ${\displaystyle f\colon U\to [0,\infty )}$ eine nichtnegative reellwertige Funktion und ${\displaystyle \lambda }$ ein Maß. Das Lebesgue-Integral ${\displaystyle \textstyle \int fd\lambda }$ sei wohldefiniert. Dann hat das Lebesgue-Integral folgende Darstellung als Riemann-Integral:

${\displaystyle \int fd\lambda =\int \limits _{0}^{\infty }\lambda (\{y|f(y)\geq x\})dx}$.

Wenn man in dieser Darstellung das Maß ${\displaystyle \lambda }$ durch eine Kapazität ${\displaystyle \mu }$ ersetzt, hat man bereits die Definition des Choquet-Integrals für nichtnegative Funktionen.

Sei nun ${\displaystyle f|U\to \mathbb {R} }$ eine reellwertige Funktion, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ eine Menge von Teilmengen von ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle \mu }$ eine Kapazität. Die Funktion ${\displaystyle f}$ sei messbar, d. h.

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\quad \{y|f(y)\geq x\}\in {\mathcal {F}}(U)}$.

Dann ist das Choquet-Integral von ${\displaystyle f}$ bzgl. ${\displaystyle \mu }$ folgendermaßen durch Riemann-Integrale definiert: ^[2]

${\displaystyle \int fd\mu :=\int \limits _{0}^{\infty }\mu (\{y|f(y)\geq x\})dx+\int \limits _{-\infty }^{0}[\mu (\{y|f(y)\geq x\})-\mu (U)]dx}$.

Für positive ${\displaystyle f}$ reduziert sich dies auf

${\displaystyle \int fd\mu =\int \limits _{0}^{\infty }\mu (\{y|f(y)\geq x\})dx}$.

Siehe z. B.^[3] Für ${\displaystyle f\leq g}$ gilt ${\displaystyle \int fd\mu \leq \int gd\mu \quad }$ (Monotonie). Für ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ ist ${\displaystyle \int \alpha fd\mu =\alpha \int fd\mu \quad }$ (positive Homogenität).

I.allg. ist das Choquet-Integral nicht additiv, d. h.

${\displaystyle \int (f+g)d\mu \neq \int fd\mu +\int gd\mu }$

Wenn ${\displaystyle \mu }$ 2-monoton ist, dann ist das Choquet-Integral superadditiv, d. h.

${\displaystyle \int (f+g)d\mu \geq \int fd\mu +\int gd\mu }$.

Wenn ${\displaystyle \mu }$ 2-alternierend ist, dann ist das Choquet-Integral subadditiv, d. h. in der letzten Ungleichung gilt ${\displaystyle \leq }$.

Siehe z. B.^[4] Sei ${\displaystyle U=\{1,\dots ,n\}}$ und ${\displaystyle f|U\to [0,\infty )}$ eine nichtnegative Funktion mit den Werten ${\displaystyle f(i)=y_{i},i=1,\dots ,n}$. Bezeichne ${\displaystyle y_{(1)},\dots ,y_{(n)}}$ die der Größe nach geordneten Funktionswerte, d. h.

${\displaystyle 0\leq y_{(1)}\leq y_{(2)}\leq \dots \leq y_{(n)}}$.

Da im diskreten Fall das definierende Riemann-Integral zu einer Summe entartet, ergibt sich

${\displaystyle \int fd\mu =\sum _{i=1}^{n}(y_{(i)}-y_{(i-1)})\mu (\{j|f(j)\geq y_{(i)}\})=\sum _{i=1}^{n}y_{(i)}[\mu (A_{(i)})-\mu (A_{(i+1)})]}$;

${\displaystyle y_{(0)}=0;\quad A_{(i)}=\{(i),(i+1),\dots ,(n)\};\quad A_{(1)}=U;\quad A_{(n+1)}=\emptyset }$.

Diskrete Choquet-Integrale sind ein flexibles Mittel zur Aggregation interagierender Kriterien, siehe ^[4]. In diesem Fall ist ${\displaystyle U=\{1,\dots ,n\}}$ eine Menge von ${\displaystyle n}$ Kriterien mit den Ausprägungen ${\displaystyle f(i)=y_{i}}$. Diese Kriterien sollen durch geeignete Mittelbildung zusammengefasst (aggregiert) werden zu einem (globalen) Kriterium ${\displaystyle y}$. Das diskrete Choquet-Integral bildet ein solches Mittel:

${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}w_{(i)}y_{(i)}\quad {\text{mit den Gewichten}}\quad w_{(i)}=\mu (A_{(i)})-\mu (A_{(i+1)})}$

Durch superadditive (subadditive) ${\displaystyle \mu }$ können Synergieeffekte (Redundanzeffekte) zwischen den Kriterien berücksichtigt werden.

• M. Grabisch: An introduction to the Choquet integral

1. ↑ Choquet, G. (1953). Theory of capacities. Ann.Inst.Fourier, Grenoble, 131-295 doi:10.5802/aif.53
2. ↑ Denneberg, D. (1994): Non-additive Measure and Integral. Kluwer, Dordrecht
3. ↑ Grabisch, M., Murofushi, T. and M. Sugeno (eds) (2000). Fuzzy Measures and Integrals - Theory and Applications. Physica Verlag
4. ↑ ^{a b} Grabisch,M., Marichal,J.-L., Mesiar,R. and E. Pap (2009): Aggregation Functions. Cambridge University Press