Charlier-Polynome

Die Charlier-Polynome (auch Poisson–Charlier-Polynome genannt) sind diskrete orthogonale Polynome. Sie wurden vom schwedischen Astronom Carl Charlier 1906 eingeführt.^[1] Sie sind orthogonal bezüglich der Poisson-Verteilung.^[2]

Die Charlier-Polynome ${\displaystyle C_{n}(x;\mu )}$ lassen sich mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ${\displaystyle {}_{2}F_{0}(a,b;-;z)}$ in der Form

${\displaystyle C_{n}(x;\mu ):={}_{2}F_{0}\left({\begin{matrix}-n,-x\\-\end{matrix}}{\bigg \vert }-{\frac {1}{\mu }}\right)}$

definieren. Für ${\displaystyle \mu >0}$ sind sie orthogonal auf ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ bezüglich der Gewichtsfunktion

${\displaystyle w(x;\mu )={\frac {\mu ^{x}}{x!}},\qquad x=0,1,2,\dots ,}$

das heißt, es gilt entsprechend mit dem Skalarprodukt

${\displaystyle \langle C_{n},C_{m}\rangle :=\sum \limits _{x=0}^{\infty }C_{n}(x;\mu )C_{m}(x;\mu )w(x;\mu )={\frac {n!e^{\mu }}{\mu ^{n}}}\delta _{m,n},}$

wobei ${\displaystyle \delta _{m,n}}$ das Kronecker-Delta bezeichnet.

Die Charlier-Polynome genügen folgender Drei-Term-Rekursion

${\displaystyle C_{n+1}(x;\mu )=\mu ^{-1}xC_{n}(x-1;\mu )-C_{n}(x;\mu )}$

mit dem Startglied ${\displaystyle C_{0}(x;\mu )=1.}$

Die erzeugende Funktion ist

${\displaystyle F(x,t)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}C_{n}(x;\mu )t^{n}=e^{-t}\left({\frac {\mu +t}{\mu }}\right)^{x}.}$

Es gilt

${\displaystyle C_{n}(x;\mu )=(-1)^{n}n!L_{n}^{(-1-x)}\left(-{\frac {1}{\mu }}\right),}$

wobei ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind.

Es gilt

${\displaystyle \lim \limits _{\beta \to \infty }M_{n}(x;\beta ,\mu /(\beta +\mu ))=C_{n}(x;\mu ),}$

wobei ${\displaystyle M_{n}(x;\beta ,c)}$ die Meixner-Polynome genannt werden.

• Gábor Szegő: Orthognal Polynomials. Hrsg.: Colloquium Publications – American Mathematical Society. 1939, ISBN 978-0-8218-1023-1. 

• Eric W. Weisstein: Charlier Polynomial. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Poisson-Charlier Polynomial. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ C. V. L. Charlier: Über die Darstellung willkürlicher Funktionen. In: Arkiv för matematik, astronomi och fysik, Band 2, 1906
2. ↑ Gábor Szegő: Orthognal Polynomials. Hrsg.: Colloquium Publications – American Mathematical Society. 1939, ISBN 978-0-8218-1023-1 (Kapitel 2.81).