Brownscher Darstellungssatz

Der Brownsche Darstellungssatz ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein Satz über die Darstellbarkeit bestimmter Funktoren von der Homotopiekategorie der Kategorie der punktierten zusammenhängenden Zellkomplexe in die Kategorie der Mengen. Das bekannteste Beispiel sind dabei singuläre Kohomologiegruppen, welche durch Eilenberg-MacLane-Räume dargestellt werden. Benannt ist der Satz nach Edgar H. Brown, der diesen im Jahr 1962 aufstellte.

Ein Funktor ${\displaystyle F\colon \operatorname {Ho} (\mathbf {ConnCW} _{*})\rightarrow \mathbf {Set} }$, welcher:

• Koprodukte (also Wedge-Produkte) auf Produkte abbildet:

  ${\displaystyle F\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)=\prod _{i\in I}F(X_{i})}$

• Homotopiekofaserprodukte auf schwache Faserprodukte abbildet

ist darstellbar.^[1] Es existiert also ein punktierter zusammenhängender Zellkomplex ${\displaystyle X}$ mit:

${\displaystyle F\cong \operatorname {Ho} (\mathbf {ConnCW} _{*})(-,X).}$

Aus dem Brownschen Darstellungssatz folgt insbesondere die Darstellbarkeit von singulärer Kohomologie. Etwa ist:^[2]

${\displaystyle H^{1}(-,\mathbb {Z} _{2})\cong [-,\mathbb {R} P^{\infty }];}$

${\displaystyle H^{2}(-,\mathbb {Z} )\cong [-,\mathbb {C} P^{\infty }].}$

• Edgar H. Brown: Cohomology Theories. In: Annals of Mathematics. Band 75, Nr. 3, Mai 1962, S. 467–484, doi:10.2307/1970209 (englisch). 
• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2001, ISBN 978-0-521-79160-1 (englisch, cornell.edu). 

1. ↑ Hatcher 2002, Theorem 4E.2.
2. ↑ Hatcher 2002, Theorem 4.57.