Brownsche Bewegung und Riemannsche Zeta-Funktion

Die Brownsche Bewegung und die Riemannsche Zeta-Funktion sind zwei zentrale Studienobjekte der Mathematik, welche aus unterschiedlichen Bereichen stammen, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der analytischen Zahlentheorie, und auf den ersten Blick nichts gemeinsam haben, doch es existieren tiefgreifende Verbindungen zwischen ihnen. Die Beziehung zwischen stochastischen Prozessen, die aus der brownschen Bewegung hervorgehen, und der Riemannschen Zeta-Funktion zeigen in gewisser Weise intuitiv das stochastische Verhalten, welches der Riemannschen Zetafunktion zugrunde liegt. Eine Darstellung der Riemannschen Zetafunktion in Form von stochastischen Prozesse wird als stochastische Darstellung bezeichnet.^[1][2]

Sei ${\displaystyle \zeta (s)}$ die Riemannsche Zeta-Funktion und ${\displaystyle \Gamma }$ die Gamma-Funktion, dann ist die Riemannsche Xi-Funktion definiert als

${\displaystyle \xi (s):={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma ({\tfrac {1}{2}}s)\zeta (s)}$

und sie erfüllt die Funktionalgleichung

${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s),\quad \forall s\in \mathbb {C} .}$

Es stellt sich heraus, dass ${\displaystyle 2\xi (s)}$ die Momente einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle \mu }$ einer Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ beschreibt^[3][4]

${\displaystyle 2\xi (s)=\mathbb {E} [X^{s}]=\int _{0}^{\infty }x^{s}d\mu (x),\quad \forall s\in \mathbb {C} }$

1987 bewiesen Marc Yor und Philippe Biane, dass die Zufallsvariable durch die Differenz zwischen dem Maximum und Minimum einer brownschen Brücke ${\displaystyle (b_{s})_{0\leq s\leq 1}}$ beschrieben werden kann. Eine brownsche Brücke ist eine eindimensionalen brownsche Bewegung ${\displaystyle (W_{t})_{0\leq t\leq 1}}$ mit Bedingung ${\displaystyle W_{0}=W_{1}=0}$.^[5] Konkret bewiesen sie, dass

${\displaystyle X={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left(\max \limits _{0\leq s\leq 1}b_{s}-\min \limits _{0\leq s\leq 1}b_{s}\right)}$

eine Lösung für die Gleichung

${\displaystyle 2\xi (s)=\mathbb {E} [X^{s}]}$

ist. Dies ist aber nicht der einzige Prozess, der dieser Verteilung folgt.

Ein Bessel-Prozess ${\displaystyle \operatorname {Bes} (d)}$ der Ordnung ${\displaystyle d}$ ist die euklidische Norm einer ${\displaystyle d}$-dimensionalen brownschen Bewegung. Der ${\displaystyle \operatorname {Bes} (3)}$-Prozess ist definiert als

${\displaystyle R_{t}:={\sqrt {\left(W_{t}^{(1)}\right)^{2}+\left(W_{t}^{(2)}\right)^{2}+\left(W_{t}^{(3)}\right)^{2}}}.}$

Definiere die Eintrittszeit ${\displaystyle T_{1}:=\inf\{t\geq 0\colon R_{t}=1\}}$ und sei ${\displaystyle {\tilde {T_{1}}}}$ eine weitere Eintrittzeit eines unabhängigen ${\displaystyle \operatorname {Bes} (3)}$-Prozess, definiere die Zufallsvariable

${\displaystyle N={\frac {\pi }{2}}\left(T_{1}+{\tilde {T_{1}}}\right),}$

dann gilt

${\displaystyle 2\xi (2s)=\mathbb {E} [N^{s}].}$^[6][3]

Sei ${\displaystyle \varphi }$ die Radon-Nikodým-Dichte der Verteilung ${\displaystyle \mu }$, dann erfüllt die Dichte die Gleichung^[7]

${\displaystyle \varphi (t):=2t\Theta ''(t)+3\Theta '(t)}$

für die Theta-Funktion^[3]

${\displaystyle \Theta (t)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi n^{2}t}.}$

Eine alternative Parametrisierung ${\displaystyle G(y):=\Theta (y^{2})}$ liefert^[6]

${\displaystyle h(y)=2yG'(y)+y^{2}G''(y).}$

mit expliziter Form

${\displaystyle h(y)=4y^{2}\sum \limits _{n=1}^{\infty }\pi (2\pi n^{4}y^{2}-3n^{2})e^{-\pi n^{2}y^{2}}}$

wobei ${\displaystyle h(y)=2y\varphi (y^{2})}$ und

${\displaystyle 2\xi (s)=\int _{0}^{\infty }y^{s-1}h(y)dy.}$

• Roger Mansuy und Marc Yor: Aspects of Brownian Motion (= Universitext). Springer, Berlin, Heidelberg, 2008, doi:10.1007/978-3-540-49966-4 (englisch). 

1. ↑ David Williams: Brownian motion and the Riemann zeta-function. In: Oxford Univ. Press, New York (Hrsg.): Disorder in Physical Systems: A Volume in Honour of John M. Hammersley. 1990, S. 361–372 (cam.ac.uk [PDF]). 
2. ↑ Roger Mansuy und Marc Yor: Aspects of Brownian Motion (= Universitext). Springer, Berlin, Heidelberg, 2008, doi:10.1007/978-3-540-49966-4 (englisch). 
3. ↑ ^{a b c} Roger Mansuy und Marc Yor: Aspects of Brownian Motion (= Universitext). Springer, Berlin, Heidelberg, 2008, S. 165–167, doi:10.1007/978-3-540-49966-4 (englisch). 
4. ↑ Laurel Smith and Persi Diaconis: Honest bernoulli excursions. In: Journal of Applied Probability. Band 25, Nr. 3, 1988, S. 464–477, doi:10.2307/3213976. 
5. ↑ Philippe Biane und Marc Yor: Valeurs principales associ´ees aux temps locaux Browniens. In: Bulletin de Science Math´ematique. Band 111, 1987, S. 23–101 (französisch). 
6. ↑ ^{a b} Philippe Biane, Jim Pitman und Marc Yor: Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta function and Brownian excursions. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 38, 2001, S. 435–465, arxiv:math/9912170. 
7. ↑ Roger Mansuy und Marc Yor: Aspects of Brownian Motion (= Universitext). Springer, Berlin, Heidelberg, 2008, S. 165–167, doi:10.1007/978-3-540-49966-4 (englisch).