Boyer-Lindquist-Koordinaten

Die Boyer-Lindquist-Koordinaten ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ (u. a. nach Robert Hamilton Boyer) sind in der mathematischen Beschreibung der allgemeinen Relativitätstheorie eine Verallgemeinerung der Koordinaten für die Schwarzschild-Metrik (nicht-rotierende Kugel) auf eine rotierende Kugel. Sie werden insbesondere bei der Beschreibung eines rotierenden Schwarzen Loches angewendet, d. h. bei Verwendung der Kerr-Metrik (im ungeladenen Fall) bzw. der Kerr-Newman-Metrik (im geladenen Fall).

Die Koordinatentransformation von Boyer-Lindquist-Koordinaten in kartesische Koordinaten ${\displaystyle (x,y,z)}$ ist gegeben durch:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi \\y&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$

mit

• dem Kerr-Parameter bzw. Spinparameter ${\displaystyle a=J/M}$
  • dem Drehimpuls ${\displaystyle J}$ des Schwarzen Loches
  • der Masse ${\displaystyle M}$ des Schwarzen Loches.
• dem Polradius r (θ = 0); dies ist bei der Kerr-Metrik auch der Schwarzschildradius, der sich aus der irreduziblen Masse ${\displaystyle M_{irr}}$ ergibt:

${\displaystyle r=r_{z}=z(0)=2\cdot M_{irr}\cdot G/c^{2}=r_{G}+{\sqrt {r_{G}^{2}-a^{2}-Q^{2}}}>r_{G}}$

• • der Gravitationskonstante ${\displaystyle G}$
  • der Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$
  • dem Gravitationsradius ${\displaystyle r_{G}}$
  • der Ladung ${\displaystyle Q}$ des Schwarzen Loches

• dem Zenitwinkel ${\displaystyle \theta }$.

Der Äquatorradius (θ = π/2) beträgt:

${\displaystyle r_{a}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}>r}$

Innerhalb der Kerr-Newman-Metrik ist das Linienelement für ein Schwarzes Loch in Boyer-Lindquist-Koordinaten unter Verwendung natürlicher Einheiten (${\displaystyle c=G=k_{\mathrm {C} }=1}$) gegeben durch

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\frac {\Delta }{\Sigma }}\left(\mathrm {d} t-a\sin ^{2}(\theta )\mathrm {d} \phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)\mathrm {d} \phi -{a}\mathrm {d} t\right]^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}+\Sigma \mathrm {d} \theta ^{2},}$

wobei folgende Abkürzungen benutzt werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &:=r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}\\\Sigma &:=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \\\end{aligned}}}$

Zu beachten ist hierbei, dass die Größen ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle Q}$ in natürlichen Einheiten alle die Maßeinheit einer Länge besitzen.^[1]

• Kugelkoordinaten

• R. H. Boyer, R. W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: J. Math. Phys. 8, 1967, S. 265–281.
• S. L. Shapiro, S. A. Teukolsky: Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars: The Physics of Compact Objects. Wiley, New York 1983, S. 357.

1. ↑ Brandon Carter: Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields. In: Physical Review. Band 174, Nr. 5, 25. Oktober 1968, S. 1559–1571, doi:10.1103/PhysRev.174.1559 (online).