Bott-Chern-Kohomologie

Bott-Chern-Kohomologie ist im mathematischen Teilgebiet der komplexen Geometrie eine Kohomologietheorie für komplexe Mannigfaltigkeiten. Diese dient als Brücke zwischen der de-Rham-Kohomologie, welche für reelle Mannigfaltigkeiten definiert ist, welche komplexe Mannigfaltigkeiten insbesondere sind, sowie der Dolbeault-Kohomologie, welche dessen Analogon für komplexe Mannigfaltigkeiten ist. Ein direkter Vergleich der beiden Kohomologietheorien durch verbindende Abbildungen ist nicht möglich, jedoch bildet Bott-Chern-Kohomologie kanonisch in beide ab. Eine ähnliche Kohomologietheorie, in welche beide abbilden und welche daher auch als Brücke dient, ist die Aeppli-Kohomologie. Bott-Chern-Kohomologie ist benannt nach Raoul Bott und Shiing-Shen Chern, welche diese im Jahr 1965 eingeführt haben.

Für eine komplexe Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ ist dessen Bott-Chern-Kohomologie gegeben durch:^[1][2][3]

${\displaystyle H_{\mathrm {BC} }^{p,q}(X):=\ker(\mathrm {d} _{p+q})/\operatorname {img} (\partial _{p-1,q}{\overline {\partial }}_{p-1,q-1})=\left(\ker(\partial _{p,q})\cap \ker({\overline {\partial }}_{p,q})\right)/\operatorname {img} (\partial _{p-1,q}{\overline {\partial }}_{p-1,q-1}).}$

Dabei notiert ${\displaystyle \mathrm {d} }$ die äußere Ableitung und ${\displaystyle \partial }$ sowie ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ notieren die Dobeault-Operatoren.

de-Rham- und Dobeault-Kohomologie sind gegeben durch:^[4]

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{n}(X):=\ker(\mathrm {d} _{n})/\operatorname {img} (\mathrm {d} _{n-1}),}$

${\displaystyle H_{\partial }^{p,q}(X):=\ker(\partial _{p,q})/\operatorname {img} (\partial _{p-1,q}),}$

${\displaystyle H_{\overline {\partial }}^{p,q}(X):=\ker({\overline {\partial }}_{p,q})/\operatorname {img} ({\overline {\partial }}_{p,q-1}).}$

Mit der kanonischen Inklusion ${\displaystyle \operatorname {img} (\partial _{p-1,q}{\overline {\partial }}_{p-1,q-1})=\operatorname {img} ({\overline {\partial }}_{p,q-1}\partial _{p-1,q-1})\hookrightarrow \operatorname {img} (\mathrm {d} _{p+q})}$ gibt es eine kanonische Inklusion der Bott-Chern- in die de Rham-Kohomologie:^[2]

${\displaystyle H_{\mathrm {BC} }^{p,q}(X)\rightarrow H_{\mathrm {dR} }^{p+q}(X).}$

Mit den kanonischen Inklusionen ${\displaystyle \ker(\partial _{p,q})\cap \ker({\overline {\partial }}_{p,q})\hookrightarrow \ker(\partial _{p,q}),\ker({\overline {\partial }}_{p,q})}$ sowie ${\displaystyle \operatorname {img} (\partial _{p-1,q}{\overline {\partial }}_{p-1,q-1})\hookrightarrow \operatorname {img} (\partial _{p-1,q})}$ und ${\displaystyle \operatorname {img} ({\overline {\partial }}_{p,q-1}\partial _{p-1,q-1})\hookrightarrow \operatorname {img} ({\overline {\partial }}_{p,q-1})}$ gibt es kanonische Inklusionen der Bott-Chern- in die Dobeault-Kohomologie:^[2]

${\displaystyle H_{\mathrm {BC} }^{p,q}(X)\rightarrow H_{\partial }^{p,q}(X),}$

${\displaystyle H_{\mathrm {BC} }^{p,q}(X)\rightarrow H_{\overline {\partial }}^{p,q}(X).}$

Darüber hinaus gibt es kanonische Abbildungen ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{n}(X),H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\overline {\partial }}^{p,q}(X)\rightarrow H_{\mathrm {A} }^{p,q}(X)}$ in die Aeppli-Kohomologie, wobei alle drei möglichen Kompositionen ${\displaystyle H_{\mathrm {BC} }^{p,q}(X)\rightarrow H_{\mathrm {A} }^{p,q}(X)}$ identisch sind.

• Raoul Bott und Shiing-Shen Chern: Hermitian vector bundles and the equidistribution of the zeroes of their holomorphic sections. In: Acta Mathematica. 114. Jahrgang, 1965, S. 71–112, doi:10.1007/BF02391818 (englisch). 
• Daniele Angella, Adriano Tomassini: On Bott-Chern cohomology and formality. 21. November 2014; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 1507.07112). 
• Daniele Angella: On the Bott-Chern and Aeppli cohomology. 25. Juli 2015; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 1507.07112). 

• Bott-Chern cohomology auf nLab (englisch)

1. ↑ Bott & Chern 1965, S. 74
2. ↑ ^{a b c} Angella & Tomassini 2014, S. 1 & 1.1. Bott-Chern cohomology
3. ↑ Angella 2015, S. 5
4. ↑ Angella 2015, S. 3–4