Baum-Connes-Vermutung

Die Baum-Connes-Vermutung ist eine mathematische Vermutung, die eine tiefe Verbindung zwischen der K-Theorie und K-Homologie von Strukturen macht, welche mit einer topologischen Gruppe verbunden sind. Die Vermutung verknüpft dadurch das Gebiet der Topologie mit der Funktionalanalysis. Sie sagt, dass die K-Homologie des klassifizierenden Raumes der eigentlichen Wirkung einer lokalkompakten Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ vollständig durch die K-Theorie ihrer reduzierten Gruppen-C*-Algebra ${\displaystyle C_{r}^{*}(\Gamma )}$ beschrieben werden können. Formal wird eine Abbildung ${\displaystyle \mu ^{\Gamma }}$ zwischen der K-Homologie und der K-Gruppe gebildet, die sogenannte (analytische) Assembly-Abbildung, und die Vermutung ist, dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist.

Die Vermutung wurde 1982 von Paul Baum und Alain Connes formuliert.^[1] Die Wichtigkeit der Vermutung liegt insbesondere darin, dass ein positiver Beweis der Vermutung weitere Vermutungen impliziert, darunter die Nowikow-Vermutung, die Gromow-Lawson–Rosenberg-Vermutung (in einer Richtung) und die Kaplansky-Kadison-Vermutung.^[2]

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine lokalkompakte Gruppe, die zweitabzählbar ist. Die funktionalanalytische Seite besteht aus der reduzierten Gruppen-C*-Algebra ${\displaystyle C_{r}^{*}(\Gamma )}$ und ihren K-Gruppen ${\displaystyle K_{i}(C_{r}^{*}(\Gamma ))}$ für ${\displaystyle i=0,1}$. Die topologisch-geometrische Seite besteht aus dem klassifizierenden Raum ${\displaystyle {\underline {E}}\Gamma }$ der eigentlichen Wirkung von ${\displaystyle \Gamma }$ und der ${\displaystyle \Gamma }$-äquivarenten K-Homologie mit ${\displaystyle \Gamma }$-kompaktem Träger ${\displaystyle RK_{i}^{\Gamma }({\underline {E}}\Gamma )}$ für ${\displaystyle i=0,1}$.

Die Verbindung zwischen beiden Seiten wird durch die analytischen Assembly-Abbildungen (oder Indexabbildungen) gegeben:

${\displaystyle \mu _{i}^{\Gamma }:RK_{i}^{\Gamma }({\underline {E}}\Gamma )\to K_{i}(C_{r}^{*}(\Gamma )),\quad i=0,1}$.

Die Baum-Connes-Vermutung lautet nun:

Die Assembly-Abbildungen ${\displaystyle \mu _{i}^{\Gamma }:RK_{i}^{\Gamma }({\underline {E}}\Gamma )\to K_{i}(C_{r}^{*}(\Gamma ))}$ für ${\displaystyle i=0,1}$ sind Isomorphismen.^[3]

Die K-Homologie ist die zur topologischen K-Theorie duale Homologietheorie. In Kasparows KK-Theorie ist die K-Homologie einer C*-Algebra ${\displaystyle A}$ als die Gruppe ${\displaystyle KK(A,\mathbb {C} )}$ definiert und die K-Theorie von ${\displaystyle A}$ als die Gruppe ${\displaystyle KK(\mathbb {C} ,A)}$. Nach dem Kasparow-Produkt gilt

${\displaystyle KK(\mathbb {C} ,A)\times KK(A,\mathbb {C} )\mapsto KK(\mathbb {C} ,\mathbb {C} )\cong \mathbb {Z} .}$^[4]

• Alain Valette: Introduction to the Baum-Connes Conjecture (= Lectures in Mathematics ETH Zürich). Birkhäuser, Basel 2002, ISBN 978-3-7643-6706-0, doi:10.1007/978-3-0348-8187-6. 
• Maria Paula Gomez Aparicio, Pierre Julg und Alain Valette: The Baum–Connes conjecture: an extended survey. In: Advances in Noncommutative Geometry. 2019, arxiv:1905.10081 [abs] (semanticscholar.org). 

1. ↑ Paul Baum und Alain Connes: Geometric K-theory for Lie groups and foliations. In: L’Enseignement Mathématique. IIe Série. Band 46, 2000, doi:10.5169/seals-64793. 
2. ↑ Alain Valette: Introduction to the Baum-Connes Conjecture (= Lectures in Mathematics ETH Zürich). Birkhäuser, Basel 2002, ISBN 978-3-7643-6706-0, S. viii, doi:10.1007/978-3-0348-8187-6. 
3. ↑ Alain Valette: Introduction to the Baum-Connes Conjecture (= Lectures in Mathematics ETH Zürich). Birkhäuser, Basel 2002, ISBN 978-3-7643-6706-0, S. vii-viii, doi:10.1007/978-3-0348-8187-6. 
4. ↑ Maria Paula Gomez Aparicio, Pierre Julg und Alain Valette: The Baum–Connes conjecture: an extended survey. In: Advances in Noncommutative Geometry. 2019, S. 22, arxiv:1905.10081 [abs] (semanticscholar.org).