AB-Kategorie

AB-Kategorien sind im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie spezielle Kategorien, die zusätzliche Eigenschaften erfüllen. Diese wurden von Alexander Grothendieck in seinem Tohoku-Paper aus dem Jahr 1957 als AB1, AB2, AB3, AB4 und AB5 bezeichnet. AB steht dabei für abelsche Kategorien (französisch catégorie abeliénne), die unter anderen von den Eigenschaften festgelegt werden.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine Kategorie:

• AB1: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ist eine präabelsche Kategorie (auch AB1-Kategorie genannt).^[1]

• AB2: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ist eine abelsche Kategorie (auch AB2-Kategorie genannt).^[1]

• AB3: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ hat alle Koprodukte.^[2][3][4]
• AB3*: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ hat alle Produkte.^[3]
• AB4: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ hat alle Koprodukte (AB3) und diese sind exakt, also alle Koprodukte von Monomorphismen monisch.^[5][3][4]
• AB4*: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ hat alle Produkte (AB3) und diese sind exakt, also alle Produkte von Epimorphismen episch.^[3]
• AB5: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ hat alle Koprodukte (AB3) und filtrierte Kolimiten sind exakt.^[5][3][4][4]
• AB5*: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ hat alle Produkte (AB3) und kofiltrierte Limiten sind exakt.^[3]

AB3-Kategorien, die AB1, AB2 und AB3 erfüllen, sind genau abelsche Kategorien, in denen alle Produkte existieren, wodurch mit der Existenz von Quotienten sogar alle Limiten existieren. AB5-Kategorien, die AB1, AB2, AB3, AB4 und AB5 erfüllen, sind abelsche Kategorien, in denen alle Limiten existieren und gefilterte Limiten von exakten Sequenzen wieder exakt sind.

• Alexander Grothendieck: Sur quelques points d'algèbre homologique. In: Tohoku Mathematical Journal (= Second Series). 9. Jahrgang, 1957, ISSN 0040-8735, S. 119–221, doi:10.2748/tmj/1178244839 (französisch, projecteuclid.org). 

1. ↑ ^{a b} Tohoku-Paper, S. 127
2. ↑ Tohoku-Paper, S. 128
3. ↑ ^{a b c d e f} Section 19.10 (079A): Grothendieck's AB conditions—The Stacks project. Abgerufen am 12. April 2025. 
4. ↑ ^{a b c d} additive and abelian categories in nLab. Abgerufen am 12. April 2025. 
5. ↑ ^{a b} Tohoku-Paper, S. 129