5-Mannigfaltigkeit

Eine 5-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine glatte Mannigfaltigkeit mit fünf Dimensionen, also ein lokal euklidischer zweitabzählbarer Hausdorff-Raum, welcher also lokal zu offenen Teilmengen des fünfdimensionalen euklidischen Raum diffeomorph ist ohne global dieser zu sein.

• Fünfdimensionale Sphäre ${\displaystyle S^{5}}$
• Fünfter reeller projektiver Raum ${\displaystyle \mathbb {R} P^{5}}$
• Wu-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)}$

Da 2-zusammenhängende wegzusammenhängende orientierbare geschlossene 5-Mannigfaltigkeiten bereits 5-Sphären sind, besteht besonderes Interesse an der Klassifikation des nächstallgemeineren Falls, nämlich einfach zusammenhängenden wegzusammenhängenden orientierbaren geschlossenen 5-Mannigfaltigkeiten.^[1] Zu diesen gehören aus der obige Liste die 5-Sphäre und die Wu-Mannigfaltigkeit.

Orientierte Bordismenklassen orientierbarer geschlossener 5-Mannigfaltigkeiten werden durch die De-Rham-Invariante klassifiziert, welche einen Gruppenisomorphismus:

${\displaystyle w_{2}w_{3}\colon \Omega _{5}^{\operatorname {SO} }\xrightarrow {\cong } \mathbb {Z} _{2}}$

beschreibt. Zwei orientierbare geschlossene 5-Mannigfaltigkeiten sind also genau dann orientiert bordant zueinander zueinander, wenn ihre De-Rham-Invarianten übereinstimmen.

• 3-Mannigfaltigkeit
• 4-Mannigfaltigkeit

• Dennis Barden: Simply Connected Five-Manifolds. In: Annals of Mathematics. 82. Jahrgang, Nr. 3, 1965, S. 365–385, doi:10.2307/1970702 (englisch, rochester.edu [PDF]). 

• 5-manifold auf nLab (englisch)

1. ↑ Diamuid Crowley: 5-manifolds: 1-connected. In: Bulletin of the Manifold Atlas. 2011, S. 49–55, abgerufen am 10. Juni 2024 (englisch).