2-Kategorie

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie sind 2-Kategorien die einfachsten Beispiele höherer Kategorien.

Eine strikte 2-Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ bringt folgende Daten mit:

• eine Klasse von 0-Morphismen ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$,
• für je zwei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}_{0}}$ eine Ansammlung von 1-Morphismen ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}(x,y)}$,
• für je zwei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}_{0}}$ und 1-Morphismen ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}_{1}(x,y)}$ eine Klasse von 2-Morphismen ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}(f,g)}$,
• für je drei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y,z\in {\mathcal {C}}_{0}}$ eine Kompositionsoperation für 1-Morphismen ${\displaystyle \bullet \colon {\mathcal {C}}_{1}(y,z)\times {\mathcal {C}}_{1}(x,y)\to {\mathcal {C}}_{1}(x,z)}$,
• für je zwei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}_{0}}$ und 1-Morphismen ${\displaystyle f,g,h\in {\mathcal {C}}_{1}(x,y)}$ eine vertikale Kompositionsoperation ${\displaystyle \circ \colon {\mathcal {C}}_{2}(g,h)\times {\mathcal {C}}_{2}(f,g)\to {\mathcal {C}}_{2}(f,h)}$,
• für je drei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y,z\in {\mathcal {C}}_{0}}$ und 1-Morphismen ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}_{1}(y,z)}$ und ${\displaystyle h,i\in {\mathcal {C}}_{1}(x,y)}$ eine horizontale Kompositionsoperation ${\displaystyle \bullet \colon {\mathcal {C}}_{2}(f,g)\times {\mathcal {C}}_{2}(h,i)\to {\mathcal {C}}_{2}(f\bullet h,g\bullet i)}$,
• für jeden 0-Morphismus ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{0}}$ einen ausgezeichneten 1-Morphismus ${\displaystyle \mathrm {id} _{x}\in {\mathcal {C}}_{1}(x,x)}$,
• für je zwei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}_{0}}$ und jeden 1-Morphismus ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{1}(x,y)}$ einen ausgezeichneten 2-Morphismus ${\displaystyle \mathrm {id} _{f}\in {\mathcal {C}}_{2}(f,f)}$.

Wir schreiben ${\displaystyle f\colon x\to y}$, um zu deklarieren, dass ${\displaystyle f}$ ein 1-Morphismus von ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle y}$, also Element von ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}(x,y)}$ ist, und ${\displaystyle \alpha \colon f\Rightarrow g}$, um zu deklarieren, dass ${\displaystyle \alpha }$ ein 2-Morphismus von ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle g}$, also Element von ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}(f,g)}$ ist.

Diese Daten gehorchen folgenden Axiomen:

• ${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\bullet f=f=f\bullet \mathrm {id} _{x}}$ für alle 1-Morphismen ${\displaystyle f\colon x\to y}$,
• ${\displaystyle f\bullet (g\bullet h)=(f\bullet g)\bullet h}$ für alle 1-Morphismen ${\displaystyle f\colon y\to z,g\colon x\to y,h\colon w\to x}$,
• ${\displaystyle \mathrm {id} _{g}\circ \alpha =\alpha =\alpha \circ \mathrm {id} _{f}}$ für alle 2-Morphismen ${\displaystyle \alpha \colon f\Rightarrow g}$,
• ${\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ \gamma )=(\alpha \circ \beta )\circ \gamma }$ für alle ${\displaystyle f,g,h,i\colon x\to y,\alpha \colon h\Rightarrow i,\beta \colon g\Rightarrow h,\gamma \colon f\Rightarrow g}$,
• ${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathrm {id} _{y}}\bullet \alpha =\alpha =\alpha \bullet \mathrm {id} _{\mathrm {id} _{x}}}$ für alle ${\displaystyle f,g\colon x\to y,\alpha \colon f\Rightarrow g}$,
• ${\displaystyle \alpha \bullet (\beta \bullet \gamma )=(\alpha \bullet \beta )\bullet \gamma }$ für alle ${\displaystyle f,g\colon w\to x,h,i\colon x\to y,j,k\colon y\to z,\alpha \colon j\Rightarrow k,\beta \colon h\Rightarrow i,\gamma \colon f\Rightarrow g}$,
• ${\displaystyle (\alpha \circ \beta )\bullet (\gamma \circ \delta )=(\alpha \bullet \gamma )\circ (\beta \bullet \delta )}$ für alle ${\displaystyle f,g,h\colon x\to y,i,j,k\colon y\to z,\alpha \colon j\Rightarrow k,\beta \colon i\Rightarrow j,\gamma \colon g\Rightarrow h,\delta \colon f\Rightarrow g}$.

Eine strikte 2-Kategorie ist eine ${\displaystyle (\mathrm {Cat} ,\times )}$-angereicherte Kategorie. Das heißt, eine strikte 2-Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ bringt folgende Daten mit:

• eine Klasse von 0-Morphismen ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$,
• für je zwei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}_{0}}$ eine Kategorie ${\displaystyle \mathrm {Hom} (x,y)}$,
• für jeden 0-Morphismus ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{0}}$ einen Funktor ${\displaystyle i_{x}\colon 1\to \mathrm {Hom} (x,x)}$,
• für je drei 0-Morphismen ${\displaystyle x,y,z\in {\mathcal {C}}_{0}}$ einen Funktor ${\displaystyle c_{x,y,z}\colon \mathrm {Hom} (y,z)\times \mathrm {Hom} (x,y)\to \mathrm {Hom} (x,z)}$,

und diese gehorchen folgenden Axiomen für alle ${\displaystyle w,x,y,z\in {\mathcal {C}}_{0}}$:

• ${\displaystyle c_{x,y,y}\circ (i_{y}\times \mathrm {id} )=\pi _{2}\colon 1\times \mathrm {Hom} (x,y)\to \mathrm {Hom} (x,y)}$,
• ${\displaystyle c_{x,x,y}\circ (\mathrm {id} \times i_{x})=\pi _{1}\colon \mathrm {Hom} (x,y)\times 1\to \mathrm {Hom} (x,y)}$,
• ${\displaystyle c_{w,y,z}\circ (\mathrm {id} \times c_{w,x,y})=c_{w,x,z}\circ (c_{x,y,z}\times \mathrm {id} )\colon \mathrm {Hom} (y,z)\times \mathrm {Hom} (x,y)\times \mathrm {Hom} (w,x)\to \mathrm {Hom} (w,z)}$.

Die Objekte eines ${\displaystyle \mathrm {Hom} (x,y)}$ sind die 1-Morphismen in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Die Pfeile eines ${\displaystyle \mathrm {Hom} (x,y)}$ sind die 2-Morphismen in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Die Wirkung der Funktoren ${\displaystyle c_{x,y,z}}$ auf Objekte ergibt die Komposition von 1-Morphismen. Die Kategorienstruktur der ${\displaystyle \mathrm {Hom} (x,y)}$ ergibt die vertikale Komposition von 2-Morphismen. Die Wirkung der Funktoren ${\displaystyle c_{x,y,z}}$ auf Pfeile ergibt die horizontale Komposition von 2-Morphismen.

Häufig wird anstelle des infix-${\displaystyle \bullet }$ für die Komposition von 1-Morphismen und die horizontale Komposition von 2-Morphismen einfach Juxtaposition verwendet, natürlicherweise mit stärkerer Bindung als das infix-${\displaystyle \circ }$ für die vertikale Komposition: ${\displaystyle \alpha \beta =\alpha \bullet \beta ;fg=f\bullet g}$. Des Weiteren schreibt man die Identität ${\displaystyle \mathrm {id} _{f}\colon f\Rightarrow f}$ auf dem 1-Morphismus ${\displaystyle f}$ häufig auch als ${\displaystyle f}$, und die Identität ${\displaystyle \mathrm {id} _{x}\colon x\to x}$ auf dem 0-Morphismus ${\displaystyle x}$ häufig auch als ${\displaystyle x}$.

Diverse Begriffsbildungen über Kategorien, Funktoren und natürliche Transformationen kann man in jede 2-Kategorie übertragen.

Beispiel: der Begriff der Adjunktion von Funktoren: Es sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine beliebige 2-Kategorie, und ${\displaystyle C,D\in {\mathcal {C}}_{0}}$ 0-Morphismen in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, und ${\displaystyle F\colon C\to D,G\colon D\to C}$. Dann heißt ${\displaystyle F}$ rechtsadjungiert zu ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle G}$ linksadjungiert zu ${\displaystyle F}$ (notiert ${\displaystyle G\dashv F}$), wenn es 2-Morphismen ${\displaystyle \eta \colon \mathrm {id} _{D}\Rightarrow F\bullet G}$ und ${\displaystyle \varepsilon \colon G\bullet F\Rightarrow \mathrm {id} _{C}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ gibt mit

• ${\displaystyle (\varepsilon \bullet \mathrm {id} _{G})\circ (\mathrm {id} _{G}\bullet \eta )=\mathrm {id} _{G}}$ und
• ${\displaystyle (\mathrm {id} _{F}\bullet \varepsilon )\circ (\eta \bullet \mathrm {id} _{F})=\mathrm {id} _{F}}$.

In kürzerer Form: ${\displaystyle G\dashv F}$, wenn es ${\displaystyle \eta \colon D\Rightarrow FG}$ und ${\displaystyle \varepsilon \colon GF\Rightarrow C}$ gibt mit

• ${\displaystyle \varepsilon G\circ G\eta =G}$ und
• ${\displaystyle F\varepsilon \circ \eta F=F}$.

• Relationen zwischen Mengen bilden eine strikte 2-Kategorie ${\displaystyle \mathrm {Rel} }$:

• ${\displaystyle \mathrm {Rel} _{0}}$ ist die Klasse aller Mengen,
• ${\displaystyle \mathrm {Rel} _{1}(X,Y)}$ ist die Klasse der Relationen von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$,
• Elemente von ${\displaystyle \mathrm {Rel} _{2}(R,S)}$ mit ${\displaystyle R,S\in \mathrm {Rel} _{1}(X,Y)}$ sind "Zeugen" für ${\displaystyle R\leq S}$, wobei ${\displaystyle \leq }$ auf den jeweiligen ${\displaystyle \mathrm {Rel} _{1}(X,Y)}$ definiert ist durch ${\displaystyle R\leq S\iff \forall x\in X,y\in Y\colon xRy\implies xSy}$,
• die Komposition von 1-Morphismen ist die Komposition von Relationen,
• die vertikale Komposition von 2-Morphismen bezeugt die Transitivität der jeweiligen ${\displaystyle \leq }$,
• die horizontale Komposition von 2-Morphismen bezeugt die Monotonie der Kompositionsoperation von Relationen bzgl. ${\displaystyle \leq }$ in beiden Argumenten,
• fasst mal Funktionen in üblicher Weise als spezielle Relationen auf, dann sind in dieser 2-Kategorie Funktionen genau die linksadjungierten, also jene 1-Morphismen zu denen es ein einen rechtsadjungierten 1-Morphismus gibt.

• Sei ${\displaystyle {{\mathcal {G}}rp}}$ die Kategorie der Gruppen und Gruppenhomomorphismen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Konjugationsabbildungen als 2-Isomorphismen durch

${\displaystyle Mor_{2}(f_{0},f_{1})=\left\{h\in H\colon f_{1}(g)=hf_{0}(g)h^{-1}\ \forall \ g\in G\right\}}$

für alle ${\displaystyle f_{0},f_{1}\in Mor(G,H)}$.

• Sei ${\displaystyle {{\mathcal {T}}op}}$ die Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Homotopien als 2-Homomorphismen durch

${\displaystyle Mor_{2}(f_{0},f_{1})=\left\{H\colon X\times \left[0,1\right]\to Y\colon H(x,i)=f_{i}(x)\ \forall \ x\in X,i\in \left\{0,1\right\}\right\}}$

für alle ${\displaystyle f_{0},f_{1}\in Mor(X,Y)}$.

• Sei ${\displaystyle {{\mathcal {C}}at}}$ die Kategorie der Kategorien und Funktoren. Diese wird eine 2-Kategorie mit den natürlichen Transformationen als 2-Morphismen durch

${\displaystyle Mor_{2}({\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1})=\left\{\left\{\alpha _{C}\colon {\mathcal {F}}_{0}(C)\to {\mathcal {F}}_{1}(C)\right\}_{C\in {\mathcal {C}}}\colon \alpha _{C^{\prime }}\circ F(f)=G(f)\circ \alpha _{C}\ \forall C,C^{\prime }\in Ob({\mathcal {C}}),f\in Mor(C,C^{\prime })\right\}}$

für alle ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1}\in Mor({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})}$.

• Jacob Lurie: Higher Topos Theory (= Annals of Mathematics Studies. Band 170). Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14049-0, Section 1.1, doi:10.48550/arXiv.math/0608040, arxiv:math/0608040v1 (englisch, ias.edu [PDF]). 

• 2-category (nlab)